Question

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Прямая, проходящая через точку D, середину гипотенузы AB, пересекает прямые AC и BC соответственно в точках P и Q. Пусть M – середина отрезка PQ. Из точки R, симметричной точке D относительно точки M, проведён перпендикуляр RF на гипотенузу AB. Докажите, что CM является биссектрисой угла FCD.

Answer 1

Решение в файле......

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим треугольник FCD и докажем, что отрезок CM является биссектрисой угла FCD.

У нас есть следующая информация:

1. D - середина гипотенузы AB (по условию).
2. M - середина отрезка PQ (по условию).
3. R - симметричная точка D относительно M (по условию).
4. RF - перпендикуляр к гипотенузе AB, проведенный из точки R (по условию).

Поскольку M - середина отрезка PQ, то MQ = MP. Рассмотрим треугольники CRF и DPM:

В треугольнике CRF:

• CR = DR (по определению симметричной точки относительно M).
• RF - общая сторона для обоих треугольников.
• Угол FCR = Угол PDM (поскольку они вертикальные углы и пересекаются одной и той же прямой).

Из этих фактов следует, что треугольники CRF и DPM подобны по стороне-угол-стороне (по признаку угловой схожести). Теперь мы можем сделать следующий вывод:

CD/CR = DP/RF.

Также мы знаем, что CR = DR, так как R - симметричная точка D относительно M. Поэтому CD/DR = DP/RF.

Теперь рассмотрим треугольник CMD:

• CM - это медиана треугольника CPQ (по определению).
• CD - это биссектриса угла PCQ (по построению).

Таким образом, у нас есть два равенства:

1. CD/DR = DP/RF.
2. CM - медиана треугольника CPQ.

Из этих равенств можно сделать вывод, что угол DCM равен углу RCF (по теореме о медиане треугольника). Но угол DCM также является углом между биссектрисой CD и гипотенузой AB. Таким образом, угол FCD также равен углу RCF.

Итак, мы доказали, что угол FCD равен углу RCF. Это означает, что CM является биссектрисой угла FCD, что и требовалось доказать.