Question

Визначити, чи описує задане рівняння x2 – 2 x +y2 +4y +z2 – 2z = –10 сферу?

Answer 1

Надо выделить полные квадраты.

x² – 2 x + y² + 4y + z² – 2z = –10.

(x² – 2*1 x + 1) - 1 + (y² + 2*2y + 4) - 4 + (z² – 2*1z + 1) - 1 = –10.

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 1)²  = –4.

Правая часть (отрицательная) не может быть квадратом радиуса сферы.

Ответ: заданное уравнение не задаёт сферу.

Answer 2

Для визначення, чи описує задане рівняння сферу, спочатку перепишемо його у стандартній формі рівняння сфери. Стандартне рівняння сфери має наступний вигляд:

(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2

Де (h, k, l) - це координати центру сфери, а r - радіус сфери.

Розглянемо ваше рівняння:

x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 2z = -10

Для того, щоб перетворити його у стандартне рівняння сфери, спробуємо завершити квадратичні доданки для кожної змінної x, y і z. Щоб зробити це, нам потрібно додати константи до обох боків рівняння, які будуть враховувати те, що ми додали до кожного доданку:

(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 2z + 1) = -10 + 1 + 4 + 1

Отримаємо:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = -10 + 6

Тепер ми можемо переписати це рівняння у стандартній формі сфери:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = -3

Зауважте, що ми отримали від'ємний радіус (-3), що не є можливим значенням радіуса сфери. Тому це рівняння не описує сферу в тривимірному просторі.