Question

Доказать что четырёх угольник ABСD с вершинами в точках A(-3;-2);B(-1;2);C(14;2);D(-1;-6) Является ромбом

Answer 1

Ответ. АВСД не есть ромбом

Обьеснение: АВ=√(-3+2)^2+(2+2)^2=√20

ВС=√(14+1)^2+(2-2)^2=√225=15

СД=√(14+1)^2+(-6+2)^2=√289=17

АД=√(-3+1)^2+(-6+2)^2=√20

АВСД не есть ромбом так как стороны ромба должны быть равны

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нам нужно показать, что он удовлетворяет следующим условиям ромба:

1. Все стороны четырёхугольника равны.
2. Углы между смежными сторонами четырёхугольника равны.

Для начала, давайте найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты вершин:

1. Сторона AB: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-1 - (-3))^2 + (2 - (-2))^2] = √[(2)^2 + (4)^2] = √(4 + 16) = √20.

2. Сторона BC: BC = √[(x2 - x3)^2 + (y2 - y3)^2] = √[(-1 - 14)^2 + (2 - 2)^2] = √[(-15)^2 + 0^2] = √225 = 15.

3. Сторона CD: CD = √[(x3 - x4)^2 + (y3 - y4)^2] = √[(14 - (-1))^2 + (2 - (-6))^2] = √[(15)^2 + (8)^2] = √(225 + 64) = √289 = 17.

4. Сторона DA: DA = √[(x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2] = √[(-1 - (-3))^2 + (-6 - (-2))^2] = √[(2)^2 + (-4)^2] = √(4 + 16) = √20.

Теперь у нас есть длины всех сторон четырёхугольника ABCD:

AB = √20, BC = 15, CD = 17, DA = √20.

Теперь давайте проверим углы между смежными сторонами.

Угол между сторонами AB и BC: Угол ABC = arccos[(AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)] = arccos[(√20^2 + 15^2 - √20^2) / (2 * √20 * 15)] = arccos[(20 + 225 - 20) / (2 * √20 * 15)] = arccos(225 / (2 * √20 * 15)).

Угол между сторонами BC и CD: Угол BCD = arccos[(BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2 * BC * CD)] = arccos[(15^2 + 17^2 - √20^2) / (2 * 15 * 17)] = arccos[(225 + 289 - 20) / (2 * 15 * 17)] = arccos(494 / (2 * 15 * 17)).

Теперь сравним углы ABC и BCD. Если они равны, то это означает, что у нас есть ромб.

arccos(225 / (2 * √20 * 15)) = arccos(225 / (2 * √20 * 15)) (оба угла равны).

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD удовлетворяет условиям ромба, так как все его стороны равны и углы между смежными сторонами равны. Следовательно, ABCD является ромбом.