Question

Дан прямоугольник ABCD.Окружность,проходящая через точки A и D,касается прямой CD и пересекает диагональ AC в точке P. Найдите длину отрезка DP,если AP=корень из 11 ;AB=22 корня из 3

Answer 1

Хорда AD перпендикулярна касательной, следовательно является диаметром.

Угол APD - прямой, так как опирается на диаметр.

CD=AB (противоположные стороны прямоугольника)

Разделим задачу на √11: AP=1, CD=2√33

CD^2 =(CP+AP)CP (т о касательной и секущей)

CP^2 +AP*CP -CD^2 =0

CP^2 +CP -132 =0

CP = -1 +√(1 +4*132) /2 =11 (CP>0)

DP =√(AP*CP) =√11 (высота из прямого угла)

Умножим на √11, ответ: DP =11

Answer 2

Для нахождения длины отрезка DP нам потребуется использовать свойства окружности и треугольников.

Известно, что окружность проходит через точки A и D и касается прямой CD. Значит, точка D является центром окружности. Теперь мы можем использовать это знание, чтобы найти радиус окружности.

Поскольку AD - это диаметр окружности, то радиус (R) окружности равен половине длины AD: R = AD / 2

Из условия задачи известно, что AP = √11, и AB = 22√3. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC. По теореме Пифагора для этого треугольника:

AB² = AC² + BC²

(22√3)² = AC² + BC²

484*3 = AC² + BC²

1452 = AC² + BC²

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ACD. Мы уже знаем, что R = AD / 2, и мы знаем, что AC = 2R (так как AC - это диаметр окружности). Теперь мы можем найти длину AC:

AC = 2R = 2(AD / 2) = AD

Из уравнения выше мы знаем, что AC² = 1452. Так как AC = AD, то и AD² = 1452.

Теперь у нас есть значение AD², и мы знаем, что AP = √11, поэтому мы можем найти значение DP. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ADP:

AD² = AP² + DP²

1452 = (√11)² + DP²

1452 = 11 + DP²

DP² = 1452 - 11

DP² = 1441

DP = √1441

Таким образом, длина отрезка DP равна √1441.