Question

1. Стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см. а) Найти периметр равновеликого квадрата. б) В каждом из них провели диагональ. Будут ли прямоугольник и квадрат равносоставленными? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{P_{ABCD} = 24}$ см

Прямоугольник KEFG является равносоставленным квадрату ABCD по диагоналям

Примечание:

Фигуры называют равновеликими если их площади равны

Объяснение:

Дано: KE = 9 см, FE = 4 см, ABCD - квадрат, KEFG - прямоугольник,

$S_{ABCD} = S_{KEFG}$

Найти: $P_{ABCD} \ - \ ?$

Решение:

По формуле площади квадрата:

$S_{ABCD} = AB^{2}$

По формуле площади прямоугольника:

$S_{KEFG} = FE \cdot KE = 4 \cdot 9 = 36$ см².

$S_{ABCD} = S_{KEFG}$

$AB^{2} = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

По формуле периметра квадрата:

$P_{ABCD} = 4AB = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей.

По теореме прямоугольник диагоналям делится на 4 равные части, тогда так как квадрат частный случай прямоугольника, то прямоугольник KEFG является равносоставленным квадрату ABCD по диагоналям.

Более общая теорема Гервина-Бойяи утверждает:

Равносоставленные фигуры являются равновеликими.

Answer 2

а) Чтобы найти периметр равновеликого квадрата, нужно найти среднее арифметическое длин сторон прямоугольника, так как квадрат имеет все стороны равными.

Среднее арифметическое длин сторон прямоугольника: (4 см + 9 см) / 2 = 13 см / 2 = 6.5 см

Таким образом, периметр равновеликого квадрата составляет 6.5 см * 4 = 26 см.

б) Чтобы определить, будут ли прямоугольник и квадрат равносоставленными, нужно сравнить их диагонали.

Диагональ прямоугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как прямоугольник образует прямоугольный треугольник со своими сторонами:

Диагональ прямоугольника = √(4^2 + 9^2) = √(16 + 81) = √97 см (приближенно)

Диагональ квадрата с одной из его сторон равной 6.5 см (как мы нашли в пункте а) равна 6.5 см * √2 ≈ 9.192 см (приближенно).

Таким образом, диагональ прямоугольника (приближенно √97 см) и диагональ квадрата (приближенно 9.192 см) не равны. Поэтому прямоугольник и квадрат не будут равносоставленными, так как их диагонали имеют разную длину.