Question

Дана пирамида, у которой все боковые грани с плоскостью основания образуют равные углы. Которые из утверждений верны? Ответ: 1. основанием пирамиды может быть правильный многоугольник 2. вершина проецируется в точку пересечения биссектрис основания 3. вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды 4. все высоты боковых граней равны

Answer 1

Ответ:

1, 2 и 4.

Объяснение:

SO - высота пирамиды.

Проведем высоты боковых граней: SK, SL, SM и SN.

KO, LO, MO и NO - их проекции на плоскость основания. Тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, эти отрезки перпендикулярны соответствующим сторонам основания.

Значит, углы наклона боковых граней к плоскости основания:

∠SKO = ∠SLO = ∠SMO = ∠SNO.

ΔSKO = ΔSLO = ΔSMO = ΔSNO по общему катету (SO) и противолежащему острому углу. Следовательно,

KO = LO = MO = NO, т.е. точка О равноудалена от сторон основания, значит О - центр окружности, вписанной в основание.

Доказано, что

• если боковые грани пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в снование.

Теперь рассмотрим данные утверждения.

1. Основанием пирамиды может быть правильный многоугольник. - верно.

Основанием такой пирамиды может быть многоугольник, в который можно вписать окружность, а в правильный многоугольник можно вписать окружность.

2. Вершина проецируется в точку пересечения биссектрис основания. - верно.

Вершина такой пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, а он находится в точке пересечения биссектрис.

3. Вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. - неверно.

4. Все высоты боковых граней равны. - верно.

Это следует из равенства треугольников ΔSKO = ΔSLO = ΔSMO = ΔSNO.

Answer 2

Для данной пирамиды, у которой все боковые грани с плоскостью основания образуют равные углы, можно рассмотреть следующие утверждения:

1. Основанием пирамиды может быть правильный многоугольник.

   • Верно. Если боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания, то это может быть правильный многоугольник.

2. Вершина проецируется в точку пересечения биссектрис основания.

   • Верно. В данном случае вершина пирамиды будет проецироваться в точку пересечения биссектрис основания, так как углы между боковыми гранями и плоскостью основания равны, и боковые грани будут равномерно располагаться вокруг вершины.

3. Вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

   • Неверно. Если все боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания, это не обязательно означает, что вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Это утверждение не всегда верно.

4. Все высоты боковых граней равны.

   • Верно. Если все боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания, то высоты боковых граней будут равными, так как пирамида будет подобна.

Итак, верными утверждениями являются 1 и 2.