Question

в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AK. Докажите что расстояние от точки K до прямой AB равно отрезку CK​

Answer 1

Ответ:

KH - расстояние от K до AB

KH=CK

Объяснение:

Рассмотрим ΔCAK и ΔAKH:

∠CAK=∠KAH, т.к. AK - биссектриса (по условию)

∠C=∠AHK=90° (т.к. KH - расстояние от K до AB)

AK - общая сторона и  явл. гипотенузой

Значит ΔCAK = ΔAKH по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), т.е. KH=CK

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами биссектрисы в треугольнике.

1. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где C - прямой угол, и биссектриса AK проведена из вершины A до гипотенузы BC.

2. Обозначим расстояние от точки K до прямой AB как d, а отрезок CK как x. Наша задача - доказать, что d = x.

3. Рассмотрим треугольники AKB и CKB.

4. В этих треугольниках у нас есть общий угол при вершине B.

5. Также у нас есть два угла с равными величинами: ∠KAB и ∠KCB. Это следует из того, что биссектриса AK делит угол CAB пополам.

6. По условию у нас есть прямой угол при C, поэтому ∠KCB = 90°.

7. Следовательно, треугольники AKB и CKB подобны по углам (по двум углам).

8. Теперь мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников: соответствующие стороны пропорциональны.

9. Поэтому AK/CK = AB/BC.

10. Мы знаем, что AK - это биссектриса, поэтому AK делит сторону BC на две равные части, то есть AK = CK.

11. Следовательно, CK/CK = AB/BC, что эквивалентно 1 = AB/BC.

12. Отсюда следует, что AB = BC.

13. Поскольку AB = BC, треугольник ABC - это равнобедренный прямоугольный треугольник, и отрезок CK является катетом.

14. Расстояние от точки K до прямой AB равно расстоянию от точки K до вершины C, так как CK - это катет.

15. Таким образом, d = CK, что и требовалось доказать.