Question

218*. Докажите, что сумма расстояний от лю- бой точки внутри треугольника до трех еговершин больше полупериметра треуголь-Ника.​

Answer 1

Запишем три неравенства треугольника и просто сложим их:

x+y>a

y+z>c

x+z>b

2(x+y+z) > a+b+c

x+y+z > (a+b+c)/2

x+y+z >p/2

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться неравенством треугольника.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, и мы выбираем произвольную точку P внутри этого треугольника. Тогда расстояния от точки P до вершин треугольника будут равны PA, PB и PC. Нам нужно доказать, что сумма этих расстояний больше полупериметра треугольника.

Пусть a, b и c - длины сторон треугольника, а s - полупериметр, который равен (a + b + c) / 2. Тогда нам нужно доказать, что:

PA + PB + PC > s

Теперь давайте воспользуемся неравенством треугольника для каждого из трех треугольников: PAB, PBC и PCA. Для каждого из них неравенство будет выглядеть так:

PA + PB > AB PB + PC > BC PC + PA > CA

Сложим все три неравенства:

(PA + PB) + (PB + PC) + (PC + PA) > AB + BC + CA

Теперь мы видим, что каждая из пар расстояний появляется дважды в левой части неравенства, поэтому мы можем упростить его:

2(PA + PB + PC) > 2s

Теперь делим обе стороны неравенства на 2:

PA + PB + PC > s

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра треугольника:

PA + PB + PC > s