Question

У прямокутному трикутнику АХК Х = 90°, АС – бісектриса трикутника, ХАК = 60°. Знайдіть довжину катета ХК, якщо ХС = 6 см.

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою синусів в трикутнику АХК.

Теорема синусів виглядає наступним чином: $\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)}$,

де $a$, $b$, і $c$ - довжини сторін трикутника, а $A$, $B$, і $C$ - відповідні кути при цих сторонах.

В нашому випадку ми маємо трикутник АХК з відомими кутами:

• $\angle X = 90^\circ$
• $\angle HAK = 60^\circ$
• Оскільки АС - бісектриса, то $\angle CAH = \angle CAK = \dfrac{1}{2} \cdot \angle HAK = 30^\circ$

Ми також маємо відому сторону $ХС = 6$ см, і нас цікавить довжина сторони $ХК$.

Давайте позначимо довжину сторони $ХА$ як $a$, сторони $АК$ як $b$, і сторони $HK$ як $c$.

Тепер ми можемо застосувати теорему синусів до трикутника АХК:

$\dfrac{a}{\sin(60^\circ)} = \dfrac{c}{\sin(30^\circ)}$

Зауважимо, що $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ і $\sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2}$.

Підставимо ці значення у рівняння:

$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{c}{\dfrac{1}{2}}$

Тепер знайдемо $c$ (довжину сторони $HK$):

$c = \dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$

$c = 2a \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$c = \dfrac{4a}{\sqrt{3}}$

Ми також знаємо, що $ХС = 6$ см, і так як $ХС$ є катетом, то $ХА$ також має бути катетом. Отже, $a = 6$ см.

Тепер підставимо значення $a$ в наше рівняння:

$c = \dfrac{4 \cdot 6}{\sqrt{3}}$

$c = \dfrac{24}{\sqrt{3}}$

Для спрощення дробу ми можемо помножити чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$:

$c = \dfrac{24 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Тепер спростимо:

$c = 8 \cdot \sqrt{3}$ см

Отже, довжина сторони $HK$ дорівнює $8 \cdot \sqrt{3}$ см.