Question

В прямоугольном треугольнике две биссектрисы пересекаются под углом 74 градусов Найдите углы этого треугольника

Answer 1

Ответ:

Острые углы данного прямоугольного треугольника равны 32° и 58°.

Объяснение:

Предположим, что пересекаются биссектрисы двух острых углов. Тогда сумма половин этих углов равна 45° (так как сумма острых углов равна 90° и угол, под которым пересекаются эти биссектрисы, ВСЕГДА равен 135° (или 45°, если брать смежный). Следовательно, нам дан угол пересечения биссектрис прямого и одного из острых углов. Пусть это будут углы В и С. Тогда в треугольнике АОС  ∠ОАС = 45°(половина прямого), а ∠АОС = 74°(дано). По сумме углов треугольника АОС  

∠ОСА = 180°-45°-74° = 61°, а это половина угла С треугольника АВС. Значит острый угол С получается равным 122°, что противоречит условию существования прямоугольного треугольника.  

Следовательно, угол пересечения биссектрис ∠АОС = 106°(смежный с данным).

Тогда ∠ОСА = 180°-45°-106° = 29°, а ∠С = 2·29° = 58°.

По сумме острых углов ∠А = 90° -58° = 32°.

Answer 2

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол A прямой угол. Пусть AD и BE - биссектрисы, пересекающиеся в точке I (см. рисунок). По условию, угол DIB = 74 градуса.

[asy] unitsize(1.5 cm);

pair A, B, C, D, E, I;

A = (0,0); B = (4,0); C = (0,3); D = extension(A,bisectorpoint(B,A,C),B,bisectorpoint(A,B,C)); E = extension(A,bisectorpoint(C,A,B),C,bisectorpoint(A,C,B)); I = intersectionpoint(A--D,B--E);

draw(A--B--C--cycle); draw(A--D); draw(B--E); draw(I--D); draw(I--E); draw(rightanglemark(B,A,C,5));

label("$A$", A, SW); label("$B$", B, SE); label("$C$", C, N); label("$D$", D, NE); label("$E$", E, NW); label("$I$", I, S); [/asy]

Поскольку AD и BE - биссектрисы, то угол DAI = угол BAI и угол EBI = угол ABI. Таким образом, угол AID = угол BID и угол AIE = угол BIE. Из этого следует, что треугольник AID равен по углам треугольнику BID, и треугольник AIE равен по углам треугольнику BIE. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, угол AID + угол DAI + угол ADI = 180 градусам и угол AIE + угол EAI + угол AEI = 180 градусам.

Исходя из этого, получаем:

$74^\circ + 2\angle DAI = 180^\circ$ $74^\circ + 2\angle EAI = 180^\circ$

Решая уравнения, находим:

$2\angle DAI = 106^\circ$ $2\angle EAI = 106^\circ$

Теперь найдем углы DAI и EAI:

$\angle DAI = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ$ $\angle EAI = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ$

Таким образом, углы треугольника ABC равны: $A = 90^\circ$, $B = 53^\circ$, $C = 37^\circ$.