Question

В треугольнике АВС точка Д является серединой Ас, точка Е лежит на стороне ВС, а угол АЕВ равен углу ДЕС. Найти отношение АЕ:ЕД

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

Пусть ∠AEB=∠DEC=α, ∠BCA=β, AD=DC=x.

Из теоремы синусов для ΔDEC

DE=x*sinβ/sinα

∠AEC=180°-α, sin∠AEC=sinα.

Тогда из теоремы синусов для ΔAEC

AE=2xsinβ/sinα.

Следовательно, искомое отношение равно 2

Answer 2

Для нахождения отношения АЕ:ЕД в треугольнике АВС, мы можем воспользоваться условием, что угол АЕВ равен углу ДЕС. Обозначим угол АЕВ как α и угол ДЕС как β. Тогда у нас есть следующие соотношения:

1. Угол АЕВ равен углу ДЕС: α = β.

2. Так как точка Д является серединой стороны АС, то угол АДС также равен углу АЕВ: α = угол АДС.

3. Также, угол СДЕ равен углу ДЕС: β = угол СДЕ.

Теперь рассмотрим треугольники АЕВ и СДЕ. В них два угла равны между собой (α и β) и угол между ними равен углу СДЕ (так как это вершина между двумя сторонами). Такие треугольники называются равными по двум углам.

Из равенства углов следует, что эти треугольники подобны. Поэтому отношение соответствующих сторон в этих треугольниках равно отношению радиусов описанных окружностей, вписанных в углы АЕВ и СДЕ.

Таким образом, отношение АЕ к ЕД равно отношению радиусов этих окружностей. Окружность, вписанная в угол АЕВ, касается сторон АЕ и ВЕ, а окружность, вписанная в угол СДЕ, касается сторон ДЕ и СЕ.

Поэтому:

АЕ:ЕД = радиус окружности, вписанной в угол АЕВ : радиус окружности, вписанной в угол СДЕ.

Отношение радиусов описанных окружностей в углах АЕВ и СДЕ равно единице, так как эти углы равны.

Итак, АЕ:ЕД = 1:1.