Question

в окружности проведен диаметр AB. Другая окружность с центром B пересекает первую в точках C и D, M-точка первой окружности внутри второй. Отрезок AM пересекает вторую окружность в точке Е. Найдите ME, если MC=a, MD=b.

Answer 1

Я набрал решение к этой задаче, полчаса потратил, а все пропало куда-то, чертеж прыгнул в другую задачу. Бред какой-то.

 

Треугольник АВС прямоугольный, так как АВ - диаметр. Кроме того, ВС = АВ/2. Поэтому АС - касательная к окружности с центром в точке В, а угол САВ = 30 градусов, угол СВА = 60 градусов.

Точно так же AD - касательная ко второй окружности, и угол BAD = 30; угол ABD = 60 

Треугольник ABD - правильный. 

Угол АМС = угол АВС - оба опираются на дугу АС первой окружности. 

Угол АМС = 60 градусов

Точно так же угол AMD = 60 градусов. 

Углы САМ и CDM опираются на дугу СМ первой окружности, поэтому они равны.

Угол ЕDC опирается на дугу CE второй окружности (с центром в В), а угол АСЕ - это угол между касательной СА и хордой СЕ дуги СЕ. Поэтому он равен углу EDC.

Осталось заметить, что угол СЕМ = угол САМ + угол АСЕ = угол СDM + угол EDC = угол EDM. 

Легко видеть, что в треугольниках СЕМ и DEM есть 2 пары равных углов (причем одна пара - это углы в 60 градусов)

Поэтому треугольники СЕМ и DEM подобны, и МС/ME = ME/MD; ME^2 = a*b