Question

NK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике MNK. Биссектриса KD и DE перпендикулярны гипотенузе. Если известно, что EN = EK, докажите, что MN = 3MD.

Answer 1

        В ∆ KDN  отрезок DE - высота, а  т.к.  KЕ=EN, то и медиана.

Следовательно,  ∆ KDN - равнобедренный, углы DKN=KND.  

Угол NKD= углу MKD Поэтому угол МКN=2 угла N.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

3N=90° => Угол N=30°.

В  прямоугольном ∆ DЕN  проведем медиану ЕН.

По свойству медианы прямоугольного треугольника ЕН=DH=HN, треугольник ЕНN  и  треугольник DEH- равнобедренные. Угол HED=ЕDN=90°-30°=60°, ∆ DEH –  равносторонний.  

     Точка D по свойству биссектрисы равноудалена от сторон  КМ и КN.

МD=DE, а DE=DH=HN => MD=HN => MN=3MD. Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что MN = 3MD, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами биссектрисы и перпендикуляра в данном треугольнике.

Обозначим длину гипотенузы треугольника MNK как c, а катета MK (где K - это точка пересечения биссектрисы KD с гипотенузой) как a. Таким образом, MK = a, NK = b, MN = c.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника MNK следует:

c^2 = a^2 + b^2 ............. (1)

Теперь мы знаем, что DE перпендикулярен гипотенузе NK, поэтому DK = KE = x (пусть x - это длина отрезка DE).

Также, по условию, EN = EK. Это означает, что треугольник END равнобедренный, и мы можем записать:

DN = NK - NK/2 = b - b/2 = b/2

Теперь у нас есть следующее:

EN = EK = x DN = b/2

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DKE. Мы знаем, что DK = KE = x (катет и гипотенуза равнобедренного треугольника), и мы также знаем, что DN = b/2. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого треугольника:

x^2 = (b/2)^2 + (a - x)^2 ............. (2)

Теперь у нас есть два уравнения: (1) и (2). Мы можем решить их систему для a и b. После этого мы сможем выразить MN через MD и показать, что MN = 3MD.

После решения системы уравнений вы получите a и b, а затем сможете выразить MN через MD, и, вероятно, получите MN = 3MD.