Question

У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, а сума меншого катета і медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Answer 1

Ответ:

10 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠В=90°,  ∠А=60°,  АВ+ВМ=10 см. Знайти АС.

∠С=90-60=30° (сума гострих кутів прямокутного трикутника становить 90°)

АВ=1/2 АС за властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тому

ВМ=1/2 АС

АВ+ВМ=АС;  АС=10 см.

Answer 2

Спершу розглянемо трикутник та його параметри:

1. Один з кутів трикутника дорівнює 60°, що означає, що ми маємо правильний трикутник.
2. Нехай $AC$ буде гіпотенузою трикутника, а $AB$ та $BC$ - катетами, з припущенням, що $AB$ - менший катет.

Оскільки трикутник є правильним, медіана проведена до гіпотенузи поділить її на дві рівні частини. Отже, довжина медіани буде половиною довжини гіпотенузи, тобто $\frac{1}{2}AC$.

Ми знаємо, що сума меншого катета $AB$ і медіани ($\frac{1}{2}AC$) дорівнює 10 см:

$AB + \frac{1}{2}AC = 10$ (1)

Ми також знаємо, що в правильному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, тому інший кут буде 90° - 60° = 30°.

Використовуючи тригонометричні відношення для прямокутного трикутника, ми можемо записати:

$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC}$

Оскільки $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, ми можемо переписати це вираз:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{AC}$

Звідси ми можемо виразити $AB$ через $AC$:

$AB = \frac{AC}{\sqrt{3}}$ (2)

Тепер можемо об'єднати (1) та (2):

$\frac{AC}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2}AC = 10$

Множимо обидва боки на $\sqrt{3}$ для легшого спрощення:

$\frac{AC}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} + \frac{1}{2}AC \times \sqrt{3} = 10 \times \sqrt{3}$

$AC + \frac{1}{2}AC \times \sqrt{3} = 10 \times \sqrt{3}$

$AC \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 10 \times \sqrt{3}$

$AC = \frac{10 \times \sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Раціоналізуємо доданок у знаменнику:

$AC = \frac{10 \times \sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \times \frac{2}{2} = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$