Question

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковойстороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 4√3 см, а меньшее основание равно 2√3 см и один из углов трапеции равен 60°

Answer 1

Ответ:9√3 см².

Объяснение:

Решение.

Найдем боковую сторону AB=CD = AD*sin30° = 4√3*1/2 = 2√3 см.

Проведем высоту CE = h = CD*cos30° =2√3*√3/2=3 см.

------------

Площадь S = h(a+b)/2 = 3*(2√3+4√3)/2 = 3/2*6√3=9√3 см².

Answer 2

Поскольку диагональ перпендикулярна боковой стороне, то у нас есть два прямых треугольника: один с большим основанием, другой с меньшим основанием. Оба эти треугольника подобны и образуют треугольник с углом 60°.

Давайте обозначим следующие величины:

• $a$ - длина большего основания (4√3 см)
• $b$ - длина меньшего основания (2√3 см)
• $h$ - высота треугольника (расстояние между основаниями)

Из условия равнобедренности трапеции, мы знаем, что высота $h$ делит её на два равных треугольника. Так как у нас есть треугольник с углом 60°, мы можем воспользоваться свойствами 30-60-90 треугольника.

В 30-60-90 треугольнике, соотношения сторон следующие: противоположная к углу 60° сторона (половина основания) равна $b/2$, противоположная к углу 30° сторона (высота) равна $h$, а гипотенуза (половина диагонали) равна $a/2$.

Из этого мы можем выразить $h$ через $b$ следующим образом:

$h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем найти площадь одного из треугольников:

$A_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{b^2\sqrt{3}}{8}$

Так как у нас есть два таких треугольника, общая площадь треугольников равна:

$A_{\text{тр}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$

Наконец, общая площадь трапеции равна сумме площади треугольников и площади трапеции:

$A_{\text{тр}} = 2 \cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

Подставим известные значения:

$A_{\text{тр}} = 2 \cdot \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}$

$A_{\text{тр}} = 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3}$

$A_{\text{тр}} = 24\sqrt{3} \, \text{кв. см}$

Итак, площадь трапеции составляет $24\sqrt{3}$ квадратных сантиметра.