Question

Точка удалена от каждой из сторон правильного треугольника на 10 см, а от плоскости треугольника — на 8 см. Найдите площадь данного треугольника. С рисунком пожалуйста​

Answer 1

Точка удалена от каждой из сторон правильного треугольника на 10 см, а от плоскости треугольника — на 8 см. Найдите площадь данного треугольника.

Объяснение:

1) Пусть КО⊥(АВС) и КС1⊥АВ, КА1⊥ВС, КВ1⊥АС, тогда ΔКОС1=ΔКОА1=ΔКОВ1 как прямоугольные по катету( КО-общий ) и гипотенузе (КА1=КВ1=КС1=10 ) ⇒ОА1=ОВ1=ОС1 ⇒ О-центр вписанной окружности , который лежит в точке пересечения биссектрис и ОА1=ОВ1=ОС1 =r . Для равностороннего треугольника биссектриса совпадает с  высотой .

2) ΔКОА1  прямоугольный, по т Пифагора  OA1=r=√(10²-8²)=6 (cм).

3) ΔABC -равносторонний ,  a₃ =2r√3  , a₃ =12√3 см.

S(равн.треуг.)=( а²√3)/4   , S(равн.треуг.)=( (12√3)²√3)/4 =108√3 (см²)    

Answer 2

Для решения этой задачи, предоставлю текстовое описание иллюстрации.

Давайте представим себе правильный треугольник ABC. Теперь нарисуем точку D за пределами треугольника, так, чтобы она находилась на одинаковом расстоянии (10 см) от каждой из сторон треугольника. Эта точка будет лежать внутри круга, описанного вокруг треугольника:

bashCopy code
        A
       / \
      /   \
     /  D  \
    /-------\
   /    B    \
  /---------\ C
 /           \

Теперь давайте проведем линии от точки D к вершинам треугольника (A, B и C). Эти линии разделяют треугольник на три равных сегмента, каждый из которых - это равносторонний треугольник.

cssCopy code
        A
       / \
      / | \
     /  |  \
    / D-|--D \
   /----|----\
  /    B|C    \
 /           \

Так как каждый из трех равносторонних треугольников имеет одинаковую площадь, площадь всего правильного треугольника равна тройной площади одного из этих треугольников.

Для вычисления площади равностороннего треугольника, нам понадобится его высота. Мы знаем, что высота разделяет его на два равнобедренных треугольника, и один из таких треугольников может служить для вычисления высоты.

В равностороннем треугольнике ABX, X - середина стороны AB. Высота треугольника ADX является высотой всего треугольника ABC. Так как AB - это одна из сторон равностороннего треугольника, и мы знаем, что его длина равна 10 см, то мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту ADX:

(AD)^2 + (DX)^2 = (AX)^2 (AD)^2 + (5 см)^2 = (10 см)^2 (AD)^2 + 25 см^2 = 100 см^2 (AD)^2 = 100 см^2 - 25 см^2 (AD)^2 = 75 см^2 AD = √75 см AD = 5√3 см

Теперь мы знаем, что высота треугольника ABC (то есть ADX) равна 5√3 см.

Площадь равностороннего треугольника ABX:

S = (1/2) * AB * DX S = (1/2) * 10 см * 5 см S = 25 см^2

Теперь мы можем найти площадь всего треугольника ABC:

S(ABC) = 3 * S(ABX) S(ABC) = 3 * 25 см^2 S(ABC) = 75 см^2

Таким образом, площадь данного правильного треугольника равна 75 квадратным сантиметрам.