Question

Дано вектори а(-2;8;-4) і б(1;-4; К). При якому значенні К вектори а і б 1) колінеальні 2) перпендекулрні

Answer 1

Ответ:

Розв'язки до завдань на фото.

Answer 2

Для визначення, при якому значенні К вектори а і б колінеальні або перпендикулярні, ми можемо скористатися властивостями скалярного добутку векторів. Відомо, що вектори a і b колінеальні, якщо їх скалярний добуток рівний добутку довжини векторів і косинуса кута між ними, тобто:

1. a і b колінеальні: a * b = |a| * |b| * cos(θ)

де a * b - скалярний добуток векторів a і b, |a| - довжина вектора a, |b| - довжина вектора b, θ - кут між векторами a і b.

По-перше, розрахуємо довжину векторів a і b:

|a| = √((-2)^2 + 8^2 + (-4)^2) = √(4 + 64 + 16) = √84

|b| = √(1^2 + (-4)^2 + К^2) = √(1 + 16 + К^2) = √(17 + К^2)

Тепер ми можемо записати умову для колінеарності:

a * b = |a| * |b| * cos(θ)

(-2) * 1 + 8 * (-4) + (-4) * К = √84 * √(17 + К^2) * cos(θ)

-2 - 32 - 4К = √84 * √(17 + К^2) * cos(θ)

-34 - 4К = √84 * √(17 + К^2) * cos(θ)

Тепер ми можемо виразити косинус кута θ:

cos(θ) = (-34 - 4К) / (√84 * √(17 + К^2))

Якщо вектори a і b колінеарні, то cos(θ) повинен дорівнювати 1 (косинус кута 0 градусів). Тому:

(-34 - 4К) / (√84 * √(17 + К^2)) = 1

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для К:

(-34 - 4К) = √84 * √(17 + К^2)

Після розв'язання отримаємо значення К.

2. a і b перпендикулярні: a і b перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тобто:

a * b = 0

(-2) * 1 + 8 * (-4) + (-4) * К = 0

-2 - 32 - 4К = 0

-34 - 4К = 0

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для К:

-34 - 4К = 0

4К = -34

К = -34 / 4

К = -8.5

Отже, коли К = -8.5, вектори a і b будуть перпендикулярними.