Question

Трикутники АВС і KBС мають спільну сторону ВС. Висоти трикутників, проведені до цієї сторони, відносяться як 5:6. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо вона на 10 см менша, ніж площа трикутника КВС.​

Answer 1

Ответ:

50см²

Объяснение:

Пусть АМ и KN - высоты. Запишем выражение для площадей треугольников через высоты:

S(ABC)=1/2*AM*BC

S(KBC)=1/2*KN*BC

AM/KN=5/6 по условию

KN=6*AM/5

S(KBC)-S(ABC)=1/2*KN*BC-1/2*AM*BC=10

(1/2)*(6*AM/5)*BC-1/2*AM*BC=10       /*2

6/5*AM*BC-AM*BC=20

1/5*AM*BC=20

AM*BC=100

S(ABC)=1/2*AM*BC=1/2*100=50см²

Answer 2

Спершу важливо врахувати співвідношення висот трикутників до спільної сторони ВС, яке дорівнює 5:6.

Позначимо висоту трикутника ABC як h_ABC і висоту трикутника KBC як h_KBC.

Ми знаємо, що:

$$\frac{h_{ABC}}{h_{KBC}} = \frac{5}{6}$$

Тепер розглянемо площі обох трикутників:

Площа трикутника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_{ABC}$$

Площа трикутника KBC:

$$S_{KBC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_{KBC}$$

Згідно умови задачі, площа трикутника ABC менша від площі трикутника KBC на 10 квадратних сантиметрів:

$$S_{KBC} - S_{ABC} = 10 \, \text{см}^2$$

Замінимо площі виразами залежності від висот:

$$\frac{1}{2} \times BC \times h_{KBC} - \frac{1}{2} \times BC \times h_{ABC} = 10 \, \text{см}^2$$

Спростимо вираз, ділимо обидві сторони на $\frac{1}{2} \times BC$:

$$h_{KBC} - h_{ABC} = \frac{20}{BC} \, \text{см}$$

Тепер використаємо відоме співвідношення між висотами:

$$h_{ABC} = \frac{5}{6} \times h_{KBC}$$

Підставимо це у вираз:

$$\frac{1}{6} \times h_{KBC} = \frac{20}{BC} \, \text{см}$$

Розрахунок висоти трикутника KBC:

$$h_{KBC} = \frac{20}{BC} \times 6 = \frac{120}{BC} \, \text{см}$$

Тепер відомо висоту трикутника KBC, можна знайти площу трикутника KBC:

$$S_{KBC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_{KBC} = \frac{1}{2} \times BC \times \frac{120}{BC} = 60 \, \text{см}^2$$

Отже, площа трикутника ABC:

$$S_{ABC} = S_{KBC} - 10 \, \text{см}^2 = 60 \, \text{см}^2 - 10 \, \text{см}^2 = 50 \, \text{см}^2$$