Question

Знайти косинус кута А трикутника АВС, якщо А (2; —4; 2), В (3; —3; 3), С (4; 0; 1).

Answer 1

Даны вершины треугольника: А (2; —4; 2), В (3; —3; 3), С (4; 0; 1).

Находим векторы из вершины А.

АВ = (3-2; -3-(-4); 3-2) = (1; 1; 1), модуль равен √3.

АС = (4-2; 0-(-4); 1-2) = (2; 4; -1), модуль равен √21.

Находим косинус угла А:

cos A = (1*2 + 1*4 + 1*(-1))/(√3*√21) = 5/(√3*√21) = 5/√63 = 5√7/21.

cos A = 0,62994.

Отсюда находим угол:

A = 0,88932 радиан,

А = 50,95425 градусов.

Answer 2

Для знаходження косинуса кута між векторами використовують формулу скалярного добутку векторів та їхніх довжин.

Спочатку знайдемо вектори AB і AC, а потім використовуємо формулу для обчислення косинуса кута між цими векторами:

1. Знайдемо вектор AB: AB = B - A = (3 - 2, -3 - (-4), 3 - 2) = (1, 1, 1).

2. Знайдемо вектор AC: AC = C - A = (4 - 2, 0 - (-4), 1 - 2) = (2, 4, -1).

Тепер, ми використовуємо формулу скалярного добутку векторів та їхніх довжин для обчислення косинуса кута між векторами AB і AC:

Косинус кута (θ) = (AB • AC) / (||AB|| * ||AC||),

де AB • AC - скалярний добуток векторів AB і AC, ||AB|| - довжина вектора AB, ||AC|| - довжина вектора AC.

3. Обчислимо скалярний добуток AB і AC: AB • AC = (1 * 2) + (1 * 4) + (1 * (-1)) = 2 + 4 - 1 = 5.

4. Знайдемо довжини векторів AB і AC: ||AB|| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √(1 + 1 + 1) = √3, ||AC|| = √(2^2 + 4^2 + (-1)^2) = √(4 + 16 + 1) = √21.

5. Підставимо ці значення в формулу для косинуса кута: Косинус кута (θ) = (5) / (√3 * √21) = 5 / (√63).

Отже, косинус кута між векторами AB і AC дорівнює 5 / (√63).