Question

100 баллов Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная кроме того, что расстояние между директрисами равно 2 и эксцентриситет e = 2

Answer 1

Так как уравнения асимптот у = +- (4/3)х, то в = 2к, а = 2к.

По заданию с = 2/2 = 0.

Тогда по уравнению с² = а² + в² получим:

100 = 16к² + 9к² = 25к².

Отсюда к = √(100/25) =√4 = 2.

Получаем значения а = 3*2 = 6, в = 2*2 = 4.

Искомое уравнение гиперболы: (х²/36) - (у²/64) = 1.

Answer 2

Для составления уравнения гиперболы с фокусами на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, с известным расстоянием между директрисами и эксцентриситетом, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. Расстояние между фокусами (2c) равно 2.
2. Эксцентриситет (e) равен 2.

Сначала найдем значение c (расстояние от начала координат до фокусов):

2c = 2

Отсюда:

c = 1

Теперь мы можем использовать следующее уравнение гиперболы:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

где a - расстояние от начала координат до вершины гиперболы.

Мы уже знаем, что c = 1, и связь между c, a и эксцентриситетом e:

c^2 = a^2 * (e^2 - 1)

Подставим известные значения:

1^2 = a^2 * (2^2 - 1)

1 = a^2 * (4 - 1)

1 = a^2 * 3

Теперь найдем a:

a^2 = 1/3

a = √(1/3)

Теперь, имея значения a и c, мы можем записать уравнение гиперболы:

x^2/(1/3) - y^2/b^2 = 1

x^2/(1/3) - y^2/b^2 = 1

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

3x^2 - 3y^2/b^2 = 3

Теперь у нас есть уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, и известными значениями эксцентриситета и расстояния между директрисами. Уточнение значения b потребуется для полного определения уравнения, и оно зависит от конкретных параметров задачи.