Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-12; 6), В (0; 11), C (5; -1) i D(-7; -6) є квадратом.​

Answer 1

1) докажем. что диагонали в точке пересечения делятся пополам. для чего найдем середины АС и ВD, тем самым покажем, что четырехугольник - параллелограмм, потом 2) покажем равенство длин двух смежных сторон. что и будет завершением доказательства.

1) Середина АС: х=(-12+5)/2=-3.5; у=(6-1)/2=2.5; точка (-3.5;2.5)- середина АС;

Середина ВD: х=(0-7)/2=-3.5; у=(11-6)/2=2.5; точка (-3.5;2.5)- середина ВD; показали пересечение диагоналей в одной точке.

2) АВ=√((0+12)²+(11-6)²)=√(144+25)=13

АD=√((-7+12)²+(-6-6)²)=√(25+144)=13

АВ=АD

Доказано.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є квадратом, нам потрібно переконатися, що всі його сторони однакової довжини і всі кути прямі. Ми можемо це перевірити, використовуючи координати вершин і використовуючи відстань між ними.

Спершу знайдемо довжину сторін AB, BC, CD і DA:

1. Довжина сторони AB: AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²) AB = √((0 - (-12))² + (11 - 6)²) AB = √(12² + 5²) AB = √(144 + 25) AB = √169 AB = 13

2. Довжина сторони BC: BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²) BC = √((5 - 0)² + (-1 - 11)²) BC = √(5² + (-12)²) BC = √(25 + 144) BC = √169 BC = 13

3. Довжина сторони CD: CD = √((x_D - x_C)² + (y_D - y_C)²) CD = √((-7 - 5)² + (-6 - (-1))²) CD = √((-12)² + (-5)²) CD = √(144 + 25) CD = √169 CD = 13

4. Довжина сторони DA: DA = √((x_A - x_D)² + (y_A - y_D)²) DA = √((-12 - (-7))² + (6 - (-6))²) DA = √((-5)² + (12)²) DA = √(25 + 144) DA = √169 DA = 13

Отже, ми бачимо, що всі сторони мають однакову довжину 13.

Тепер давайте перевіримо кути. Якщо всі кути чотирикутника ABCD прямі, то це дійсно квадрат.

Ми можемо використовувати вектори для цього. Вектор AB визначається як (x_B - x_A, y_B - y_A), і вектор BC як (x_C - x_B, y_C - y_B), і так далі для інших векторів. Якщо відомо, що вектори AB і BC перпендикулярні (їх добуток скалярний дорівнює 0), і те саме для інших пар сусідніх векторів, то це вказує на те, що всі кути є прямими.

Вектор AB: (0 - (-12), 11 - 6) = (12, 5) Вектор BC: (5 - 0, -1 - 11) = (5, -12) Вектор CD: (-7 - 5, -6 - (-1)) = (-12, -5) Вектор DA: (-12 - (-7), 6 - (-6)) = (-5, 12)

Тепер давайте перевіримо скалярний добуток цих векторів:

AB · BC = (12 * 5) + (5 * -12) = 60 - 60 = 0 BC · CD = (5 * -12) + (-12 * -5) = -60 + 60 = 0 CD · DA = (-12 * -5) + (-5 * 12) = 60 - 60 = 0 DA · AB = (-5 * 12) + (12 * 5) = -60 + 60 = 0

Оскільки скалярний добуток усіх сусідніх векторів дорівнює 0, це означає, що всі кути у чотирикутника ABCD є прямими. Таким чином, чотирикутник ABCD є квадратом.