Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1;5), B(4;1), C(0;-2), D(-3;2) є квадратом. СРОЧНО!

Answer 1

Ответ:

Сусідні АВ=ВС=5(см),отже,це квадрат

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є квадратом, ми можемо використовувати властивості квадратів. Квадрат - це чотирикутник, у якого всі сторони рівні, а всі кути прямі. Давайте перевіримо ці умови для ABCD.

Відстані між вершинами можна знайти за формулою відстані між двома точками у двовимірному просторі:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.\]

1. Перевірка довжин сторін:

a. Відстань між A і B: \[AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\]

b. Відстань між B і C: \[BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + ((-2) - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.\]

c. Відстань між C і D: \[CD = \sqrt{((-3) - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\]

d. Відстань між D і A: \[DA = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.\]

Отже, всі сторони рівні між собою, \(AB = BC = CD = DA = 5\).

2. Перевірка кутів:

a. Кут між векторами \(\overrightarrow{AB}\) і \(\overrightarrow{BC}\): \[\overrightarrow{AB} = (4 - 1, 1 - 5) = (3, -4),\] \[\overrightarrow{BC} = (0 - 4, (-2) - 1) = (-4, -3).\] Скалярний добуток цих векторів: \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (3 \cdot (-4)) + ((-4) \cdot (-3)) = -12 + 12 = 0.\]

b. Аналогічно перевіряємо кути між іншими сусідніми сторонами.

Всі скалярні добутки дорівнюють нулю, що означає, що всі кути між сторонами прямі.

Отже, чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1;5), B(4;1), C(0;-2), D(-3;2) є квадратом, оскільки всі його сторони рівні і всі кути прямі.