Question

Допоможіть будь ласка дослідити функцію на монотонність та екстремум f(x)= x³+3x²+5​

Answer 1

Объяснение:

Найдём критические точки (это те значения в которых производная функции равна нулю или не имеет значений (к примеру 1/x, при x=0 функция не имеет значения), они называются точками разрыва).

Сразу видно что у функции нет точек разрыва (то есть она определена на всей числовой прямой), поэтому просто приравняем производную функции к нулю:

[Производная степенной функции: $(x^n)'=n*x^{n-1}$]

$f'(x)=(x^3+3x^2+5)'=3x^2+6x$

$f'(x)=0\\3x^2+6x=0\\3x(x+2)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

3x=0       или      x+2=0

x=0       или      x=-2

Итого у нас 2 точки экстремума.

Теперь посмотрим как ведёт себя производная функции между ними. Там, где производная принимает положительные значения, сама функция возрастает, там где отрицательные - убывает.

(Рисунок)

Как видно из рисунка, функция возрастает на промежутке (-∞;-2)U(0;+∞) и убывает на (-2;0)

Ответ:

Точки экстремума:

-6 ; 0

Монотонность функции:

функция возрастает на промежутке (-∞;-2)U(0;+∞)

функция убывает на промежутке (-2;0)

Answer 2

Щоб дослідити функцію на монотонність та екстремуми, нам потрібно знайти похідні функції f(x) та визначити їхні знаки в різних інтервалах.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f(x) = x³ + 3x² + 5 f'(x) = 3x² + 6x

2. Знайдемо другу похідну функції f(x): f''(x) = 6x + 6

Тепер давайте розглянемо різні інтервали і визначимо знаки похідних f'(x) та f''(x) на них:

а) Інтервал (-∞, ∞):

На цьому інтервалі f'(x) = 3x² + 6 завжди більше 0, оскільки квадратний доданок завжди невід'ємний, і константа 6 також більше 0. Це означає, що функція f(x) зростає на всьому інтервалі (-∞, ∞).

Тепер давайте знайдемо точки, в яких f'(x) = 0 для можливих екстремумів:

3x² + 6 = 0 3x² = -6 x² = -2 x = ±√(-2)

Функція f(x) має точки перегину в точках x = ±√(-2), але немає точок екстремуму на цьому інтервалі.

Отже, функція f(x) = x³ + 3x² + 5 монотонно зростає на всьому діапазоні дійсних чисел і не має точок екстремуму на цьому інтервалі.