Question

Помогите пожалуйста!Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум. Город А находится на расстоянии 54 (км) от железной дороги, проходящей вдоль берега моря. На берегу моря находится портовый город В.Под каким углом к железной дороге нужно провести шоссе из города А, чтобы доставка грузов из пор- та В в город А была наиболее дешевой? Стоимость перевозки по шоссе составляет 468 руб. за 1 т/км, а по железной дороге -52 руб. за 1 т/км.

Answer 1

Ответ: α=arccos(1/9)≈84°.

Объяснение:

Пусть α - искомый угол. Пусть s - расстояние от города В до точки, через которую проходит перпендикуляр к шоссе, проведённый из города А. Тогда дина маршрута l=s-54*ctg(α)+54/sin(α). Пусть m - масса груза, тогда стоимость доставки груза S=52*m*[s-54*ctg(α)]+468*m*54/sin(α). Так как m=const и s=const, то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции S(α). Находим её производную: S'(α)=[52*54*m-468*54*m*cos(α)]/sin²(α) и приравниваем её к нулю. Отсюда после сокращения на произведение 54*m следует уравнение 52-468*cos(α)=0, откуда cos(α)=52/468=1/9. Тогда α=arccos(1/9)≈84°.  

Answer 2

Для решения этой задачи на оптимизацию требуется использовать дифференциальное исчисление.

Давайте обозначим угол между шоссе и железной дорогой как θ. Перпендикулярно железной дороге проведем отрезок, который соединяет город А с морским портом В. Длину этого отрезка обозначим как L. Таким образом, L - это расстояние от города А до морского порта В.

Теперь мы можем представить задачу как оптимизацию функции затрат, которая зависит от длины L и угла θ. Общие затраты для доставки грузов из порта В в город А могут быть определены следующим образом:

C = C_шоссе + C_железная_дорога

где C_шоссе = 468 руб./т/км * L C_железная_дорога = 52 руб./т/км * L

Теперь мы можем выразить L через θ, используя тригонометрию. Если шоссе и железная дорога соединяются под углом θ, то:

L = 54 км / cos(θ)

Теперь мы можем выразить общие затраты C только через угол θ:

C(θ) = 468 руб./т/км * (54 км / cos(θ)) + 52 руб./т/км * (54 км / cos(θ))

Теперь нашей целью является минимизация этой функции C(θ) относительно угла θ. Для этого найдем производную C(θ) и приравняем ее к нулю, чтобы найти угол θ, при котором затраты минимальны:

C'(θ) = d/dθ [468 * (54 / cos(θ)) + 52 * (54 / cos(θ))]

Сначала упростим выражение:

C'(θ) = 468 * (d/dθ [54 / cos(θ)]) + 52 * (d/dθ [54 / cos(θ)])

Используя правило дифференцирования функции, получим:

C'(θ) = 468 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) - 52 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ))

Теперь найдем угол θ, при котором производная равна нулю:

468 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) - 52 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

Поделим обе стороны на 6:

78 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) - 52 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

26 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) - 52 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

Упростим:

(26 - 52) * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

-26 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

Теперь у нас есть:

-26 * (54 * sin(θ) / cos^2(θ)) = 0

Это уравнение имеет решение, когда выражение в скобках равно нулю:

54 * sin(θ) / cos^2(θ) = 0

54 * sin(θ) = 0

sin(θ) = 0

Угол θ будет равен нулю, когда sin(θ) равно нулю. Это означает, что шоссе должно быть проведено перпендикулярно железной дороге, то есть под углом 90 градусов, чтобы доставка грузов из порта В в город А была наиболее дешевой.