Question

Геометрия Точки А(-1;-4), В (-1;2), С(3;2), D(7;-4)– вершины прямоугольной трапеции с основаниями АD и BC . Найдите длину средней линии и площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:   m=6  ,  S=36 .

$A(-1;-4)\ ,\ \ B(-1;2)\ ,\ \ C(3;2)\ ,\ \ D(7;-4)$

Так как у точек А и D равные ординаты, то эти точки лежат на одной прямой: у= -4 . Так как у точек В и С равные ординаты, то эти точки лежат на одной прямой: у= 2 . Так как у точек А и В равные абсциссы, то эти точки лежат на одной прямой: х= -1 .  А так как прямые х= -1  и  у= -4  перпендикулярны, то АВ⊥ВС  и  АВ⊥AD . Значит трапеция прямоугольная и высота трапеции - это сторона АВ .

$|AB|=\sqrt{(-1+1)^2+(2+4)^2}=6\ \ ,\ \ \ \boxed{\ h=6\ }\ \ ,\\\\|AD|=\sqrt{(7+1)^2+(-4+4)^2}=8\ \ ,\\\\|BC|=\sqrt{(3+1)^2+(2-2)^2}=4\\\\m=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{8+4}{2}=\boxed{6}\\\\S(ABCD)=mh=6\cdot 6=\boxed {36}$

Answer 2

Для нахождения длины средней линии трапеции, нам нужно сначала найти среднюю линию (медиану), которая является средним арифметическим значением длин оснований трапеции. После этого мы можем использовать формулу для нахождения площади трапеции.

1. Найдем длину средней линии (медианы): Длина средней линии (медианы) трапеции равна полусумме длин ее оснований: $\text{Средняя линия} = \frac{AD + BC}{2}$

Длины оснований AD и BC можно найти используя координаты вершин: $AD = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (-4 - (-4))^2}$ $BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2}$

2. Найдем площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле: $\text{Площадь} = \frac{(AD + BC) \times h}{2}$ где $h$ - высота трапеции.

Для нахождения высоты трапеции нам понадобится знать разницу по y-координатам вершин, соответствующих одной основе, т.е. $h = |-4 - 2|$ или $h = |-4 - 2|$.

Теперь проведем вычисления.

1. Длины оснований: $AD = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (-4 - (-4))^2} = \sqrt{64} = 8$

$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16} = 4$

2. Длина средней линии (медианы): $\text{Средняя линия} = \frac{AD + BC}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$

3. Площадь трапеции: $\text{Площадь} = \frac{(AD + BC) \times h}{2} = \frac{(8 + 4) \times 6}{2} = 36 \, \text{кв.ед.}$