Question

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением х^2 + у^2 + z^2 - 8х +4y + 2z -4=0. Как расположены точки А(4; 2; 2) и С (5; 1; 2) относительно сферы?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x²+y²+z²-8x+4y+2z-4=0⇒x²-8x+16-16+y²+4y+4-4+z²+2z+1-1-4=0⇒

(x-4)²+(y+2)²+(z+1)²-25=0⇒(x-4)²+(y+2)²+(z+1)²=5²

O(4;-2;-1), r=5

расстояние от точки А до центра сферы О АО=√((4-4)²+(-2-2)²+(-1-2)²)=

√25=5=r

А расположена на поверхности сферы

расстояние от точки С до центра сферы О СО=√((4-5)²+(1+2)²+(2+1)²)=

√19<r

C расположена внутри сферы

Answer 2

Чтобы найти центр и радиус сферы, представим уравнение в канонической форме $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра, а $r$ - радиус.

Исходное уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0$

Преобразим его:

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 2z) = 4$

Для завершения квадратного трехчлена добавим половину коэффициента при $x$, $y$, и $z$, возведенного в квадрат:

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 4 + 16 + 4 + 1$

$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 25$

Теперь у нас уравнение сферы в канонической форме. Сравнивая с общим уравнением, видим, что центр сферы $(a, b, c) = (4, -2, -1)$, а радиус $r = \sqrt{25} = 5$.

Теперь проверим, как расположены точки $A(4, 2, 2)$ и $C(5, 1, 2)$ относительно сферы. Вычислим расстояние от центра сферы до каждой из этих точек и сравним его с радиусом:

Для точки $A$:

$d_A = \sqrt{(4 - 4)^2 + (2 + 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{9} = 3$

Для точки $C$:

$d_C = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 + 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{14}$

Сравним с радиусом $r = 5$:

• $d_A < r$, так что точка $A$ находится внутри сферы.
• $d_C < r$, так что точка $C$ тоже внутри сферы.

Обе точки находятся внутри сферы.