Question

1) Кінці відрізка А(3; 1; 8) і В (5; 7; 2). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини xz. 2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини D.

Answer 1

1) Концы отрезка А(3; 1; 8) и В (5; 7; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости xОz.

_____________

Пусть О-середина АВ, тогда

х(О)=(3+5):2=4,

у(О)=(1+7):2=4,

z(О)=(8+2):2=5 ⇒ О(4 ; 4 ;5).

Точка, симметричная т.О относительно плоскости xОz имеет координаты

(4 ; - 4 ; 5).

2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D.

______________

Точка D может быть получена параллельным переносом точки C на вектор BA . Вектор ВА= CD.

Вектор BA( 4-10 ; 2+2 ;10-8 ) или

ВА( -6 ; 4 ; 2 )

х(D)=x(C)+x(BA) ⇒ х(D)=-2+(-6)=-8 ,

y(D)=y(C)+y(BA) ⇒ y(D)= 0+4= 4 ,

z(D)=z(C)+z(BA) ⇒ z(D)=6 + 2=8 .

Тогда D (-8 ; 4; 8).

Answer 2

1. Для знаходження точки, симетричної середині відрізка AB відносно площини XZ, можна скористатися наступним підходом. Площина XZ перпендикулярна до площини YZ та містить вісь X.

Спочатку знайдемо середину відрізка AB. Для цього знайдемо середнє значення кожної координати:

Середина відрізка AB: x = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4 y = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4 z = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5

Таким чином, середина відрізка AB має координати (4, 4, 5).

Тепер ми повинні знайти точку, симетричну відносно площини XZ. Щоб знайти координати симетричної точки, ми повинні інвертувати знак координати y:

Симетрична точка відносно площини XZ: x = 4 y = -4 (інверсія знаку) z = 5

Отже, координати точки, симетричної середині відрізка AB відносно площини XZ, це (4, -4, 5).

2. Для знаходження координат вершини D паралелограма ABCD, можна використовувати вектори. Ми можемо використовувати вектори AB і AC для знаходження вектора AD, а потім використовувати вектор AD для знаходження координат вершини D.

Вектор AB = (10 - 4, -2 - 2, 8 - 10) = (6, -4, -2) Вектор AC = (-2 - 4, 0 - 2, 6 - 10) = (-6, -2, -4)

Тепер знайдемо вектор AD, який є сумою векторів AB і AC: Вектор AD = AB + AC = (6, -4, -2) + (-6, -2, -4) = (0, -6, -6)

Тепер ми можемо знайти координати вершини D, виходячи з точки A і вектора AD: D(x, y, z) = A(4, 2, 10) + AD(0, -6, -6) = (4, 2, 10) + (0, -6, -6) = (4, -4, 4)

Отже, координати вершини D паралелограма ABCD це (4, -4, 4).