Question

Дана функция f(x) = x^2+2x-3/x-2 a) Найдите критические точки функции. b) Определите промежутки монотонности. с) Запишите уравнение асимптот функции . Используя результаты задания 1, постройте схематически график функции f(x)=x^2+2x-3/x-2

Answer 1

Исследование функции f(x) = x^2+2x-3/x-2 приведено во вложении.

Там же дан её график и таблица точек для построения.

Answer 2

Ого, вы в серьезной математике! Начнем с того, что найдем критические точки функции. Критические точки - это те точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

a) Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 2}$:

$f'(x) = \frac{(x - 2)(2x + 2) - (x^2 + 2x - 3)}{(x - 2)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 4 + 2x - x^2 - 2x + 3}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)^2}$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получим два критических значения $x = 2$ и $x = -2$.

b) Определим промежутки монотонности с помощью знаков производной. Нам нужно рассмотреть интервалы, образованные критическими точками и разбросанные между ними.

• Подставим $x = -3$ (возьмем значение меньше -2) в производную: $f'(-3) = \frac{1}{1} > 0$, так что функция возрастает на интервале $(- \infty, -2)$.
• Подставим $x = 0$ (возьмем значение между -2 и 2) в производную: $f'(0) = \frac{-4}{4} < 0$, следовательно, функция убывает на интервале $(-2, 2)$.
• Подставим $x = 3$ (возьмем значение больше 2) в производную: $f'(3) = \frac{5}{1} > 0$, значит, функция возрастает на интервале $(2, +\infty)$.

c) Чтобы найти уравнение асимптот, нужно рассмотреть вертикальные и горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты можно найти, выяснив, ведет ли функция к конечному пределу при $x \to \pm\infty$.

Посмотрим на степени в числителе и знаменателе:

$f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 2}$

Поскольку степень числителя и знаменателя одинакова (2), горизонтальной асимптоты нет. Однако у нас есть вертикальная асимптота при $x = 2$, так как функция становится неопределенной в этой точке.

Чтобы построить график, учтем эти результаты. Включите критические точки, промежутки монотонности и вертикальную асимптоту в ваш график. График будет выглядеть как парабола, стремящаяся к вертикальной асимптоте в точке $x = 2$.