Question

Дві сторони трикутника дорівнюють 3 коренів з 2 і 4 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як корінь з 2 :1.

Answer 1

Ответ:

Две стороны √2 и √3

неизвестная сторона x

Радиус описанной окружности R

Полупериметр

p = (x + √2 + √3)/2

Площадь по формуле Герона

S² = p(p-a)(p-b)(p-c)

S² = 1/2⁴*(x + √2 + √3)(x + √2 + √3 - 2√2)(x + √2 + √3 - 2√3)(x + √2 + √3 - 2x)

16S² = (x + √2 + √3)(x + √3 - √2)(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x)

---

Первые две скобки

(x + √2 + √3)(x + √3 - √2) = x² + 2√3*x + 1

Третья и четвёртая скобки

(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x) = - x² + 2√3*x - 1

полное произведение

(x² + 2√3*x + 1)(- x² + 2√3*x - 1) = - x⁴ + 10x² - 1

---

16S² = - x⁴ + 10x² - 1

---

РАдиус описанной окружности через площадь и стороны

R = abc/(4S)

R = x√2√3/(4S)

R² = x²*2*3/(16S²)

16S²*R² = 6x²

по условию R = x

(- x⁴ + 10x² - 1)x² = 6x²

- x⁴ + 10x² - 1 = 6

- x⁴ + 10x² - 7 = 0

подстановка t = x²

t² - 10t + 7 = 0

t₁ = (10 - √(100 - 28))/2 = 5 - √72/2 = 5 - √18 = 5 - 3√2 ≈ 0,7574 > 0

x₁ = +√(5 - 3√2)

(отрицательный корень отбросили)

t₂ = (10 + √(100 - 28))/2 = 5 + 3√2

x₂ = +√(5 + 3√2)

(ещё один отрицательный корень отбросили)

Итого - два ответа

√(5 - 3√2)

√(5 + 3√2)

Answer 2

Давайте позначимо третю сторону трикутника як "x" см. Тоді маємо наступні відомості:

Перша сторона: 3 корені з 2 см. Друга сторона: 4 см. Третя сторона: x см.

Також, відомо, що третя сторона відноситься до радіуса описаного кола як корінь з 2 : 1. Це означає, що:

x = r√2, де "r" - радіус описаного кола.

Зараз нам потрібно знайти радіус описаного кола. Для цього використаємо півпериметр трикутника та формулу для площі трикутника Герона:

Півпериметр (s) = (a + b + x) / 2 = (3√2 + 4 + x) / 2

За формулою Герона площа трикутника (S) може бути обчислена так:

S = √[s(s - a)(s - b)(s - x)]

Площа трикутника визначається виразом:

S = √[s(s - a)(s - b)(s - x)] = √[s(4 - 3√2)(4 - 4)(4 - x)] = √[s(4 - 3√2)(-x)]

Ми знаємо, що площа трикутника S також може бути виражена через радіус описаного кола (R) та сторони трикутника (a, b, x):

S = (a * b * c) / (4R)

Вставимо значення сторін a, b, x та відоме відношення x = r√2:

S = (3√2 * 4 * r√2) / (4R) = (24r) / (4R) = 6r/R

Зараз у нас є два вирази для площі трикутника, і ми можемо прирівняти їх:

6r/R = √[s(4 - 3√2)(-x)]

Підставимо значення для півпериметра (s) з раніше отриманого виразу:

6r/R = √[((3√2 + 4 + x) / 2)(4 - 3√2)(-x)]

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно "x":

6r/R = √[((3√2 + 4 + x) / 2)(4 - 3√2)(-x)]

Після деяких алгебраїчних операцій отримаємо:

6r/R = √[(3√2 + 4 + x)(-x)]

Розкривши квадратний корінь:

(6r/R)^2 = (3√2 + 4 + x)(-x)

36r^2/R^2 = (-3√2x - 4x - x^2)

Переносимо всі члени на один бік та спрощуємо:

x^2 + (3√2 + 4)x + (36r^2/R^2) = 0

Тепер у нас є квадратне рівняння відносно "x". Ми можемо використати квадратну формулу для його розв'язання:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку: a = 1 b = 3√2 + 4 c = 36r^2/R^2

Знаючи значення a, b і c, ми можемо підставити їх у формулу:

x = (-(3√2 + 4) ± √((3√2 + 4)^2 - 4(36r^2/R^2))) / (2 * 1)

x = (-3√2 - 4 ± √((72 + 48√2 + 16) - (144r^2/R^2))) / 2

x = (-3√2 - 4 ± √(88 + 48√2 - 144r^2/R^2)) / 2

Тепер ми маємо два можливих значення для "x", які задовольняють умові відношення сторін та площі трикутника:

1. x1 = (-3√2 - 4 + √(88 + 48√2 - 144r^2/R^2)) / 2
2. x2 = (-3√2 - 4 - √(88 + 48√2 - 144r^2/R^2)) / 2

Залежно від конкретного значення радіуса "r", ви можете обрати одне з цих двох значень для "x".