Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 10 см. Найдите меньший катет треугольника.​

Answer 1

Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.

Значит меньший катет равен 10 см.

Ответ: 10 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Давайте обозначим следующие величины:

Пусть A обозначает угол, равный 30 градусов. Пусть B обозначает угол прямоугольного треугольника, не равный 90 градусов. Пусть C обозначает угол, равный 90 градусов.

Согласно свойствам прямоугольных треугольников:

1. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому угол B равен 180 градусов - 90 градусов - 30 градусов = 60 градусов.

2. Теперь мы можем использовать тригонометрический косинус для нахождения значения меньшего катета (пусть он будет a). Мы знаем, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

cos(30°) = a / гипотенуза.

3. Мы также знаем, что разность гипотенузы (h) и меньшего катета (a) равна 10 см:

h - a = 10 см.

4. Теперь нам нужно найти гипотенузу, используя тригонометрический синус угла B:

sin(60°) = a / h.

5. Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти a и h. Сначала найдем h:

sin(60°) = a / h, a = h * sin(60°).

Теперь подставим это выражение для a в уравнение h - a = 10:

h - h * sin(60°) = 10.

6. Решим уравнение для h:

h(1 - sin(60°)) = 10, h = 10 / (1 - sin(60°)).

7. Теперь, когда у нас есть значение гипотенузы (h), мы можем найти значение меньшего катета (a):

a = h * sin(60°).

8. Рассчитаем sin(60°) и подставим его в уравнение:

sin(60°) ≈ 0.866.

a = h * 0.866.

9. Теперь найдем h, используя h = 10 / (1 - sin(60°)):

h ≈ 10 / (1 - 0.866) ≈ 10 / 0.134 ≈ 74.63 см.

10. И, наконец, найдем a:

a ≈ 74.63 см * 0.866 ≈ 64.32 см.

Таким образом, меньший катет треугольника равен примерно 64.32 см.