Question

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка M, а на ребре CD точки N и P так, что BM=1/4BA, CN=DP=1/4CD. Первое сечение проведено через точки M и N параллельно BD, второе сечение – через точки M и P параллельно AD. Постройте сечения, их линию пересечения и определите отношение площадей частей, на которые она разделяет второе сечение.

Answer 1

Ответ:

Sktm/Stplm = 7/5.

Объяснение:

Построение сечения дано в приложении.

Остается найти отношение площадей треугольника КТМ и трапеции TPLM.

Sktm = (1/2)·KT·h, где h - перпендикуляр из точки М к прямой КР.

Stplm = (1/2)·(ML+TP)·h, где h - тот же перпендикуляр.

Из подобия треугольников ADB и MLB => NL = (1/4)·AD.

В треугольнике RND отрезок ТР = (2/3)·RD, так как ТР║RD, а

NP/ND = (2/4):(3/4) = 2/3.

Но RD = (1/4)·AD (по теореме Фалеса: cтороны угла DAB делятся параллельными RM и DB в отношении 3:1 - дано).

Тогда ТР = (2/3)·(1/4)·AD = (1/6)·AD.

Stplm = (1/4+1/6)·AD·h/2 = (5/24)·AD·h.

Из подобия треугольников ACD и CКР имеем: КР = (3/4)·AD.

ТР = (1/6)·AD.(найдено ранее).

Тогда КТ = КР - ТР = (3/4 - 1/6)·AD.

Sktm = (1/2)·(7/12)·AD·h = (7/24)·AD·h. =>

Sktm/Stplm = (7/24)/(5/24) = 7/5.

Answer 2

Для построения сечений и нахождения отношения площадей частей, на которые они разделяют второе сечение, давайте начнем с построения тетраэдра ABCD и точек M, N и P, как указано в условии задачи. Далее построим сечения и найдем их линии пересечения.

Шаг 1: Постройте тетраэдр ABCD, где A, B, C и D образуют вершины тетраэдра.

Шаг 2: Найдем точку M на ребре AB, такую, что BM = 1/4BA. Для этого отложим от точки B вдоль ребра AB отрезок BM так, чтобы он был 1/4 длины ребра BA. Точка M будет находиться на этом отрезке.

Шаг 3: Найдем точки N и P на ребре CD так, что CN = DP = 1/4CD. Точка N будет находиться 1/4 пути от точки C к точке D, а точка P также будет находиться 1/4 пути от точки C к точке D.

Шаг 4: Проведем первое сечение через точки M и N, параллельно ребру BD. Для этого соединим точки M и N линией и продолжим ее до пересечения с ребром AD и ребром AC. Получим точки E и F на ребрах AD и AC соответственно.

Шаг 5: Проведем второе сечение через точки M и P, параллельно ребру AD. Для этого соединим точки M и P линией и продолжим ее до пересечения с ребром BC и ребром CD. Получим точки G и H на ребрах BC и CD соответственно.

Теперь у нас есть две линии пересечения: одна образована точками E, F, и H, а вторая образована точками G, E и F. Для определения отношения площадей частей, на которые второе сечение делит тетраэдр ABCD, нам необходимо найти площади треугольников и квадратов, образованных этими линиями.

Отношение площадей частей можно найти следующим образом:

1. Найдем площади треугольников AFG и AHE. Эти треугольники образованы вторым сечением и ребром AD.

2. Найдем площади треугольников BFE и BGH. Эти треугольники образованы первым сечением и ребром BD.

3. Найдем площади квадратов EMFN и EFHG. Эти квадраты образованы смежными сторонами обоих сечений.

4. Определите отношение площадей, которое будет равно (площадь AFG + площадь AHE) / (площадь BFE + площадь BGH + площадь EMFN + площадь EFHG).

Вычислите площади треугольников и квадратов, а затем определите отношение площадей частей, на которые второе сечение разделяет тетраэдр ABCD.