Question

2) Докажите признакпараллелограмма (по точкепересечения диагоналей).​

Answer 1

Ответ:

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

AO=OC 

BO=OD 

∠AOD=∠COB (вертикальные)

Значит, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). 

∠ADO=∠CBO (если треугольники равны, то и соответствующие углы тоже равны). Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD.

AD∥BC (по признаку параллельных прямых)

AOB=COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD (аналогично треугольникам AOD и COB.

Доказали, что AD∥BC и AB∥CD

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению)

Объяснение:

Надеюсь помогла

Answer 2

Признак параллелограмма, использующий точки пересечения диагоналей, можно сформулировать следующим образом:

Если в четырехугольнике точки пересечения диагоналей делят их пополам (то есть каждая диагональ делит другую диагональ пополам), то этот четырехугольник является параллелограммом.

Давайте докажем этот признак:

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором точки пересечения диагоналей (пусть они обозначаются как E и F) делят диагонали пополам, то есть AE = EC и BF = FD.

Чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны. Для этого рассмотрим два треугольника: ABE и CDE.

1. Из условия мы знаем, что AE = EC и BE общая сторона.
2. Также, из условия, мы знаем, что BF = FD и BE общая сторона.

Из этих двух фактов следует, что треугольники ABE и CDE равнобедренные (у них равны две стороны и один угол), и, следовательно, у них равны соответствующие углы:

∠AEB = ∠CED (по равнобедренности треугольников).

Теперь рассмотрим треугольники ADE и CBE:

1. DE общая сторона.
2. ∠AED и ∠CEB равны (по вертикальным углам).
3. Из равнобедренности ABE и CDE мы знаем, что ∠AEB = ∠CED.

Из этих фактов следует, что треугольники ADE и CBE подобны (три угла одинаковы), и, следовательно, их стороны пропорциональны.

Анализируя стороны ABCD, мы видим, что стороны AB и CD соответствуют пропорциональным сторонам треугольников ADE и CBE, а стороны AD и BC соответствуют пропорциональным сторонам треугольников ABE и CDE. Это говорит нам о том, что стороны ABCD параллельны попарно.

Таким образом, мы доказали, что если точки пересечения диагоналей четырехугольника делят их пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.