Question

В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность. Она касается стороны BC в точке P. Отрезок AP пересекает окружность точке D. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = , DP = 2. ​

Answer 1

$AK=KC=4\sqrt{2}/2=2\sqrt{2}$, так как точка K является серединой отрезка АС. Тогда $KC=PC=2\sqrt2$ как касательные окружности.

По теореме о секущей и касательной: $AP\cdot AD=AK^2$

$(2\sqrt2)^2=AD\cdot(2+AD)$

$8=2AD+AD^2$

$AD^2+2AD-8=0$

По теореме Виета, получим $AD=2$.

Рассмотрим треугольник APC со сторонами AP = 4; PC =2√2 и AC = 4√2 и пусть ∠C = α. Используем теорему косинусов:

cos α = (a² + b² - c²)/2ab = ((4√2)² + (2√2)² - 4²)/[2*4√2*2√2] = 3/4

Из определения косинуса cos a = CK / BC отсюда BC = CK/cosa тогда получим BC = 2√2 / [3/4] = 8√2/3

По теореме Пифагора:

$BK^2=BC^2-CK^2=\dfrac{128}{9}-8=\dfrac{56}{9}$

$BK=\dfrac{2\sqrt{14}}{3}$

Искомая площадь треугольника $S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{14}}{3}=\dfrac{8\sqrt{7}}{3}$ кв. ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно определить его высоту и длину основания. Давайте рассмотрим данную ситуацию.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и вписанной окружностью. Обозначим точку касания окружности и стороны BC как P.

2. Поскольку окружность вписана в треугольник ABC, то точка P является точкой касания и соединяет вершину A с центром вписанной окружности.

3. Так как равнобедренный треугольник ABC, то высота, проведенная из вершины A к основанию AC, делит основание на две равные части. Обозначим середину основания AC как точку M.

4. Точка M также является центром вписанной окружности, так как это свойство равнобедренных треугольников.

5. Отрезок AP делит высоту AM треугольника APM также на две равные части, поскольку он соединяет вершину A с точкой касания окружности.

6. Таким образом, мы можем заметить, что треугольник DPM также является равнобедренным треугольником, так как отрезок DP и отрезок MP равны (так как оба равны радиусу вписанной окружности).

7. Поскольку DP = MP = 2, то высота треугольника APM также равна 2.

8. Теперь мы можем найти высоту треугольника ABC. Она равна удвоенной высоте треугольника APM, то есть 2 * 2 = 4.

9. Для нахождения площади треугольника ABC, нам нужно умножить длину основания AC на его высоту и поделить результат пополам:

   S(ABC) = 0.5 * AC * 4

Теперь нужно знать длину основания AC, чтобы вычислить площадь. Если у вас есть значение AC, то подставьте его в формулу выше, и вы найдете площадь треугольника ABC.