Question

Дан треугольник ABC площадью 18 см² ; М-точка пересечения его медиан. Прямая,проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке K, а прямую CM в точке N. Прямые BK и AC пересекаются в точке L. Найдите площадь треугольника MLN​

Answer 1

Дан ΔABC площадью 18 см² ; М-точка пересечения его медиан. Прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке K, а прямую CM в точке N. Прямые BK и AC пересекаются в точке L.  Найдите площадь Δ MLN​

Решение.

S(МСВ)=1/3*18=6 (см²) по свойству медиан о разбиении треугольника на 6 равновеликих.

1)ΔАКL=ΔBCL по стороне и 2-м прилежащим углам :AL=LC (ВL-медиана) , ∠1=∠2 как накрест лежащие при АК||ВС , АС-секущая ,∠АLK=∠CLB как вертикальные .

{Значит S(АКL)=S(BCL)=1/2*18=9 (cм²);

{Значит LK=BL

2)Пусть ML=x , тогда по т. о точке пересечения медиан ВМ=2х, BL=3x, LK=3x.

3) ΔMNK ~ ΔMCB  по 2-м углам :∠3=∠4 как накрест лежащие , ∠NMK=∠CMB как вертикальные ⇒ отношение площадей равно к².

k= $\frac{MK}{BM} =\frac{4x}{2x} =\frac{2}{1}$   ⇒  S(MNK) : 6= 2²  , S(MNK)=24

4) $\frac{S_M_N_K}{S_M_N_L} =$ $\frac{0,5*h*MK}{0,5*h*ML}$ = $\frac{4x}{x} =\frac{4}{1}$

$\frac{24}{S_M_N_L} =\frac{4}{1}$  , S(MNL)= 6 cм²

Answer 2

Для нахождения площади треугольника MLN, давайте воспользуемся свойствами медианы и параллельных линий.

1. Известно, что медиана треугольника делит его на два равных треугольника. Площадь треугольника ABC равна 18 квадратным сантиметрам, поэтому площадь каждого из этих треугольников (AMC и MBC) равна половине этой площади, то есть 9 квадратных сантиметров.

2. Прямая, проходящая через точку A и параллельная BC, пересекает BM в точке K и CM в точке N. Это означает, что треугольники AMK и ACN подобны (по признаку двух параллельных прямых). Таким образом, соотношение сторон в этих треугольниках равно соотношению длин медианы и соответствующего отрезка боковой стороны.

3. Поскольку MK является медианой в треугольнике MBC, то AMK является треугольником, подобным MBC, и соотношение сторон AMK и MBC равно 1:2. Это также означает, что отношение площадей AMK и MBC равно (1:2)^2 = 1:4.

4. Теперь мы можем найти площадь треугольника MLN, который подобен ACN, и отношение их площадей также равно 1:4, так как они имеют одинаковое соотношение сторон.

Итак, площадь треугольника MLN равна 1/4 площади треугольника ACN. Площадь треугольника ACN равна 9 квадратным сантиметрам, поэтому площадь треугольника MLN равна (1/4) * 9 = 2.25 квадратных сантиметра.