Question

На диагонали AC квадрата ABCD выбрали такую точку M, что AB=AM. Перпендикуляр к отрезку AC в точке M пересекает сторону BC в точке H. Докажите, что BH=k*MC. В ответ запишите значение k.

Answer 1

Ответ: 1

Объяснение:

Пусть $AB=1$, тогда

По т. Пифагора $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt2$

$MC=AC-AM=\sqrt2-1$

$HC=MC:\cos \angle ACB=\dfrac{\sqrt2-1}{1/\sqrt2}=2-\sqrt2$

$BH=BC-HC=1-2+\sqrt2=\sqrt2-1$

$k=\dfrac{BH}{MC}=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=1$

Answer 2

Для доказательства того, что BH = k * MC, нам понадобится немного геометрии.

Обозначим длину стороны квадрата ABCD как "a". Так как AB = AM, то AM = a. Также, так как M - середина стороны AC, то MC = 0.5 * AC = 0.5 * a.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. У нас есть следующие известные длины:

• AM = a,
• MC = 0.5 * a.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка AC: AC^2 = AM^2 + MC^2 AC^2 = a^2 + (0.5a)^2 AC^2 = a^2 + 0.25a^2 AC^2 = 1.25a^2

Теперь давайте найдем длину отрезка AH, который является перпендикуляром к AC и пересекает BC в точке H. Так как AH является высотой прямоугольного треугольника AMC, то его можно найти, используя теорему Пифагора:

AH^2 = AC^2 - MC^2 AH^2 = 1.25a^2 - 0.25a^2 AH^2 = a^2

Теперь мы знаем длины отрезков AH и MC: AH = a, MC = 0.5a.

Чтобы доказать, что BH = k * MC, нам нужно найти k, который равен отношению BH к MC: k = BH / MC k = a / (0.5a) k = 2

Итак, мы доказали, что BH = 2 * MC. Таким образом, значение k равно 2.