Question

На сторонах АС і ВС трикутника АВС відповідно позначили точки М і N так, що АN=BM=AB. Відрізки АN і ВМ перетинаються в точці Р. Доведіть, що кут АРМ=2*кут АСВ

Answer 1

△ABM, △BAN - равнобедренные

∠ABM =180°-2∠A

∠BAN =180°-2∠B

∠APM - внешний угол в △APB

∠APM =∠ABM+∠BAN =2(180°-∠A-∠B) =2∠C

Answer 2

Для доведення того, що кут АРМ дорівнює 2*кут АСВ, спочатку розглянемо трикутники АВМ та АНР.

Оскільки AN=BM=AB, то трикутники АВМ та АНР є рівнобедреними.

Також, оскільки відрізки АN і ВМ перетинаються в точці Р, то ми можемо використати теорему про перетин прямих для того, щоб знайти кути.

За теоремою про перетин прямих, кут АРМ дорівнює сумі кутів ВАМ та АНР, оскільки це суміжні кути.

Також, оскільки трикутник АВМ рівнобедрений, то кут ВАМ дорівнює куту АВМ.

Отже, кут АРМ дорівнює сумі кутів АВМ та АНР, що дорівнює куту АСВ та куту АНР.

Оскільки трикутник АВС є рівностороннім, то кут АСВ дорівнює 60 градусам.

Таким чином, кут АРМ дорівнює 2*60, тобто 120 градусам.

Таким чином, доведено, що кут АРМ дорівнює 2*кут АСВ.