Question

В параллелограмме FGHI биссектриса, выходящая из вершины F, пересекает GH в точке J и равна 3. ∠FGJ = 60°, GJ : JH = 3 : 1. Найди периметр параллелограмма. Ответ:.

Answer 1

Ответ:

14

Объяснение:

FJ=FG=GJ=3x=3,⇒x=1

тогда

GH=4x=4

Используя формулу периметра параллелограмма получишь:

P=2(3+4)=14

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте начнем с вычисления угла FGH в параллелограмме FGHI. Мы знаем, что угол FGJ равен 60°, и GJ : JH = 3 : 1.

Сначала найдем угол JGH:

Угол GJH + угол GJF = 180° (сумма углов на прямой). Угол GJH + 60° = 180°. Угол GJH = 180° - 60° = 120°.

Теперь мы можем найти угол FGH:

Угол FGH + угол JGH = 180° (сумма углов на прямой). Угол FGH + 120° = 180°. Угол FGH = 180° - 120° = 60°.

Теперь у нас есть угол FGH, и мы знаем, что биссектриса, идущая из вершины F, делит угол FGH пополам. Поэтому угол FGI равен 60° / 2 = 30°.

Теперь у нас есть все углы в параллелограмме FGHI:

Угол FGH = 60° Угол GHI = 180° - 60° = 120° Угол HIF = 180° - 30° = 150° Угол IFG = 180° - 120° = 60°

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма, используя известные отношения сторон:

1. Поскольку GJ : JH = 3 : 1, давайте предположим, что длина GJ равна 3x, а длина JH равна x.
2. Тогда длина GH равна 3x + x = 4x.

Теперь мы можем использовать законы синусов в треугольнике FGJ:

sin(∠FGJ) / FG = sin(∠FJG) / GJ

sin(60°) / FG = sin(30°) / 3x

√3/2 / FG = 1/2 / 3x

√3 / FG = 1 / 3x

FG = 3x√3

Теперь мы знаем, что FG = 3x√3, а GH = 4x. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме всех сторон:

P = 2(FG + GH) P = 2(3x√3 + 4x) P = 6√3x + 8x

Теперь нам нужно найти значение x. Для этого мы можем использовать известный факт, что сумма углов в параллелограмме равна 360°. У нас уже есть угол FGH, GHI, HIF и IFG, поэтому:

60° + 120° + 150° + 60° = 360°

390° = 360°

Дополнительный угол составляет 390° - 360° = 30°. Этот угол равен углу GJI.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник GJI и использовать известные соотношения для нахождения x:

sin(∠GJI) / JI = sin(∠GJH) / GJ

sin(30°) / JI = sin(120°) / 3x

1/2 / JI = √3/2 / 3x

JI = 3x√3

Теперь у нас есть два выражения для JI: JI = 3x√3 и JI = 4x (из GH). Эти выражения равны, поэтому:

3x√3 = 4x

Теперь мы можем решить это уравнение для x:

3x√3 = 4x

Умножим обе стороны на x:

3√3 = 4

x = 4 / (3√3)

Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти периметр параллелограмма:

P = 6√3x + 8x P = 6√3(4 / (3√3)) + 8(4 / (3√3)) P = 8 + (32 / √3) P = 8 + (32√3 / 3)

Итак, периметр параллелограмма равен 8 + (32√3 / 3).