Question

У ромбi ABCD: CD=3см, АС=9см, DB=8см. <<С=80º.0-точка перетину діагоналей ромба. Знайдіть периметр трикутника АОВ та його кути. СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!​

Answer 1

Ответ:

$P_A_O_B=11,5$см

∠AOB=90°

∠ABO=50°

∠BAO=40°

Объяснение:

Дано: ABCD - ромб

CD = 3 см

AC = 9 см

BD = 8 см

∠C = 80°

Найти: PΔ$_A_O_B$ = ?

∠AOB=?

∠ABO=?

∠BAO=?

Решение: т.к ABCD - ромб, то у него все стороны равны ⇒ CD=BC=AB=AD=3 см

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: BO=OD=8/2=4 см; AO=OC=9/2=4,5 см

Противолежащие углы ромба равны ⇒ ∠C=∠A=80°, но т.к диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠OAD=∠BAO=80/2=40°

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ⇒ ∠AOB=90°

В ΔABO - прямоугольном, найдем ∠ABO. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике = 90°

∠ABO+∠BAO=90; ∠ABO=90-∠BAO; ∠ABO=90-40; ∠ABO=50°

Периметр - сумма длин всех сторон, тогда $P_A_O_B=AO+OB+AB=4,5+4+3=4,5+7=11,5$ см

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте начнем с вычисления длины диагоналей ромба.

Известно, что \(CD=3\) см и \(DB=8\) см. Также, у нас есть информация о угле \(\angle C=80^\circ\). Мы можем заметить, что треугольник \(ACD\) — прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Используем тригонометрию для нахождения длины диагоналей. Так как у нас дан угол и одна сторона, можем воспользоваться теоремой синусов. Пусть \(AC=x\) (гипотенуза прямоугольного треугольника \(ACD\)). Тогда:

\[\frac{3}{\sin 80^\circ} = \frac{x}{\sin 90^\circ} \Rightarrow x = \frac{3}{\sin 80^\circ}.\]

Также, длина другой диагонали равна \(BD=8\) см.

После нахождения длин диагоналей, мы можем найти длины сторон треугольника \(AOV\) (где \(O\) — точка пересечения диагоналей).

Теперь, для нахождения периметра треугольника \(AOV\), нам нужно сложить длины всех его сторон. Давайте обозначим длины сторон как \(a\), \(b\) и \(c\). Зная, что стороны \(AO\) и \(OV\) равны половинам диагоналей ромба, можем записать:

\[a=b=\frac{3}{2\sin 80^\circ},\]

\[c=\sqrt{9^2+8^2}.\]

Таким образом, периметр треугольника \(AOV\) равен:

\[P = a + b + c = \frac{3}{\sin 80^\circ} + \frac{3}{\sin 80^\circ} + \sqrt{9^2+8^2}.\]

Для нахождения углов треугольника \(AOV\), можно воспользоваться косинусным законом. Обозначим углы как \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), а стороны как \(a\), \(b\) и \(c\). Косинусный закон утверждает:

\[\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\]

\[\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac},\]

\[\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.\]