Question

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 8√3 и делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 16. Найдите площадь треугольника.​

Answer 1

Высота из прямого угла (C) делит треугольник на два подобных друг другу и исходному.

△ACH~△ABC~△CBH

AH/CH=CH/BH => CH^2 =AH*BH => CH =√(AH*BH)

Доказали: Высота из прямого угла равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.

BH=x, AH=x+16, CH=8√3

CH^2 =AH*BH => 64*3 =x(x+16) => x^2 +16x -192 =0 => x=8 (x>0)

AB =8+8+16 =32

S(ABC) =1/2 AB*CH =1/2 *32 *8√3 =128√3

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике ДВС (где В - вершина, Д - противоположная катету BC, С - противоположная катету CD) высота ДE проведена к гипотенузе DS.

Так как высота делит гипотенузу на отрезки, разность которых равна 16, то можно записать уравнение: DS - DE = 16.

Так как высота равна 8√3, то DE = 8√3. Подставляем это значение в уравнение: DS - 8√3 = 16.

Теперь найдем длину гипотенузы DS. Заметим, что треугольник ДВС - прямоугольный, поэтому можно использовать теорему Пифагора: BC^2 + CD^2 = BD^2.

Так как треугольник прямоугольный, то по определению БД является гипотенузой, а ВС и CD являются катетами. Подставляем известные значения в формулу Пифагора: BC^2 + (BC + CD)^2 = BD^2.

Упростим: BC^2 + BC^2 + 2*BC*CD + CD^2 = BD^2, 2*BC^2 + 2*BC*CD + CD^2 = BD^2.

С другой стороны, мы знаем, что CD = DE + EC. Подставляем это значение в уравнение: 2*BC^2 + 2*BC*(DE + EC) + (DE + EC)^2 = BD^2.

Замечаем, что BC = DS, так как BC - это гипотенуза. Подставляем это значение в уравнение: 2*DS^2 + 2*DS*(DE + EC) + (DE + EC)^2 = BD^2.

Теперь заменяем DE и EC на известные значения: 2*DS^2 + 2*DS*(8√3 + EC) + (8√3 + EC)^2 = BD^2.

Дальше мы не можем преобразовать уравнение, так как не знаем значение EC.