Question

68. Дан четырехугольник ABCD и точки M и N - середи- ны его сторон AB и CD соответственно. Докажите, что MN = = 0,5(BC + AD) там сверху MN BC AD векторы​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

M∈AB, MA=MB⇒→MB=→AM⇒→MB+→MA=→0

N∈CD, NC=ND⇒→CN+→ND⇒→CN+→DN=→0

→MN=→MB+→BC+→CN, правило многоугольника

→MN=→MA+→AD+→DN, правило многоугольника

→MN+→MN=(→MB+→BC+→CN)+(→MA+→AD+→DN)=

=(→MB+→MA)+(→CN+→DN)+(→BC+→AD)=→0+→0+(→BC+→AD)

2·→MN=→BC+→AD

→MN=0,5(→BC+→AD)

Answer 2

Для доказательства равенства \(MN = \frac{1}{2}(BC + AD)\) воспользуемся свойствами векторов и координатами точек.

Обозначим векторы \( \overrightarrow{AB} = \vec{a} \), \( \overrightarrow{BC} = \vec{b} \), \( \overrightarrow{CD} = \vec{c} \), и \( \overrightarrow{DA} = \vec{d} \).

Также пусть \( \overrightarrow{AM} = \vec{m} \) и \( \overrightarrow{CN} = \vec{n} \).

Из определения середины стороны следует, что \( \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \) и \( \overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \).

Теперь мы можем записать выражения для векторов \( \overrightarrow{M} \) и \( \overrightarrow{N} \):

\[ \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \] \[ \vec{n} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) \]

Теперь выразим векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), и \( \vec{d} \) через векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\[ \vec{a} = 2\vec{m} - \vec{b} \] \[ \vec{c} = 2\vec{n} - \vec{d} \]

Теперь рассмотрим векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \):

\[ \vec{BC} = \vec{b} \] \[ \vec{AD} = \vec{d} \]

Теперь подставим эти выражения в формулу \( MN = \frac{1}{2}(BC + AD) \):

\[ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) \]

Теперь выразим \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \) через \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) с использованием предыдущих выражений:

\[ \vec{b} = 2\vec{m} - \vec{a} \] \[ \vec{d} = 2\vec{n} - \vec{c} \]

Подставим их в выражение для \( \vec{MN} \):

\[ \vec{MN} = \frac{1}{2}(2\vec{m} - \vec{a} + 2\vec{n} - \vec{c}) \]

Упростим:

\[ \vec{MN} = \vec{m} + \vec{n} - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) \]

Теперь вспомним, что \( \vec{a} = 2\vec{m} - \vec{b} \) и \( \vec{c} = 2\vec{n} - \vec{d} \), и подставим их:

\[ \vec{MN} = \vec{m} + \vec{n} - \frac{1}{2}(2\vec{m} - \vec{b} + 2\vec{n} - \vec{d}) \]

Упростим:

\[ \vec{MN} = \vec{m} + \vec{n} - \vec{m} - \vec{n} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) \]

Теперь вспомним, что \( \vec{b} + \vec{d} = \vec{BC} + \vec{AD} \), и подставим это выражение:

\[ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD}) \]

Таким образом, мы доказали, что \( \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD}) \), что и требовалось доказать.