Question

Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус: 3)(x+3)^2 +(y-4)^2 +z^2=11 4)x^2 +y^2 +z^2 =5

Answer 1

Ответ:

3) $O(-3;4;0)$$; r = \sqrt{11}$

4) $O(0;0;0); r =\sqrt{5}$

Объяснение:

Уравнение сферы в общем виде:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$

Пусть точка O - центр сферы. Координаты центра $O(a;b;c)$. r - радиус сферы.

3) $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 11$

$O(-3;4;0)$$; r = \sqrt{11}$

4)  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$

$O(0;0;0); r =\sqrt{5}$

Answer 2

У вас есть два уравнения сфер:

1. \( (x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11 \) 2. \( 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 20 \)

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

Уравнение 1:

\((x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 + z^2 = 11\)

Сгруппируем переменные:

\(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y + 14 = 11\)

Выразим вторую степень:

\[x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y + 3 = 0\]

Уравнение 2:

\(4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 20\)

Разделим на 4:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 5\]

Итог:

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. \(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y + 3 = 0\) 2. \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\)

Вычитаем уравнение 2 из уравнения 1:

\((x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y + 3) - (x^2 + y^2 + z^2) = 0\)

Сокращаем:

\[6x - 8y + 3 = 0\]

Это уравнение линии, которая пересекает центр сферы. Теперь мы можем решить его относительно одной из переменных, например, относительно \(x\):

\[6x = 8y - 3\]

\[x = \frac{4}{3}y - \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение сферы и найти координаты центра и радиус. Однако, так как уравнение линии уже дает нам информацию о центре, мы можем просто взять координаты из уравнения линии:

Центр сферы: \((-3, 4, 0)\)

Теперь найдем радиус. Мы можем взять любое из исходных уравнений сферы, например, уравнение 2:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 5\]

Подставим координаты центра:

\[\left(-3\right)^2 + \left(4\right)^2 + 0^2 = 5\]

\[9 + 16 = 25\]

Радиус сферы: \(r = \sqrt{25} = 5\)

Итак, у нас есть центр сферы \((-3, 4, 0)\) и радиус \(5\).