Question

В выпуклом четырехугольнике ABCDотмечена середина стороны AD ——точка M. Отрезки BM и AC пересекаются в точке O. Известно, что ∠=65∘∠ABM=65∘, ∠=50∘∠AMB=50∘, ∠=100∘∠BOC=100∘, ∠=60∘∠ADC=60∘. Сколько градусов составляет угол BCA?

Answer 1

Ответ:

25°

Объяснение:

Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник.

∠АВМ=65°; ∠АМВ=50°; ∠ВОС=100°; ∠АDC=60°.

Найти: ∠ВСА.

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВМ.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠А=180°-(∠АВМ+∠АМВ)=180°-(65°+50°)=65°

⇒ ΔАВМ - равнобедренный (углы при основании равны)

АМ=МВ.

2. Рассмотрим ΔАОМ.

Вертикальные углы равны.

⇒∠ВОС=∠1=100°

∠2=180°-(∠1+∠ОМВ)=180°-(100°+50°)=30°

3. Рассмотрим ΔАСD

∠АСD=180°-(∠2+∠D)=180°-(30°-60°)=90°

⇒ ΔАСD прямоугольный.

СМ - медиана (АМ=МD)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

⇒ АМ=МС=MD

4. Рассмотрим ΔАСМ.

АМ=МС (п.3) ⇒ ΔАСМ - равнобедренный.

⇒ ∠2=∠3=30° (углы при основании р/б треугольника равны)

∠АМС=180°-(∠2+∠3)=180°-60°=120°

5. Рассмотрим ΔВМС.

АМ=МВ (п.1)

АМ=МС (п.3)

⇒МВ=МС ⇒ΔВМС  - равнобедренный.

∠5=∠ВСМ (углы при основании р/б треугольника равны)

∠4=∠АМС-∠АМВ=120°-50°=70°

⇒ ∠5=∠ВСМ=(180°-∠4):2=(180°-70°):2=55°

6. ∠ВСА=∠ВСМ-∠3=55°-30°=25°