Question

1.85. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.​

Answer 1

Ответ:

AC ∩ BD = O

Пусть ∠AOB=α, тогда ∠BOC=180°-α т.к. ∠AOB и ∠BOC смежные; так же ∠AOD=180° - α.

OP - биссектриса ∠BOC; OQ - биссектриса ∠AOD; ∠BOC и ∠AOD вертикальные.

∠BOP = ∠BOC÷2 = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }22180∘−α т.к. биссектриса делит угол пополам; так же ∠AOQ = ∠AOD÷2 = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }22180∘−α

∠QOP = ∠AOQ+∠AOB+∠BOP = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }2 +\alpha +\dfrac{180^{\circ } -\alpha }2 =\alpha +180^{\circ } -\alpha =180^{\circ }2180∘−α+α+2180∘−α=α+180∘−α=180∘

Значит ∠QOP развёрнутый ⇒ OQ,OP ⊂ QP. Доказано.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, нам необходимо воспользоваться определением вертикальных углов и свойствами биссектрисы угла.

Вертикальные углы - это два угла, образованные двумя пересекающимися прямыми. Вертикальные углы имеют равные меры, поэтому для удобства выберем любой из этих углов и обозначим его меру как α.

Пусть у нас есть две прямые, пересекающиеся в точке O, и два вертикальных угла α и β, образованные этими прямыми. Пусть биссектриса угла α пересекает вертикальные стороны углов и точку пересечения обозначим как P.

Так как биссектриса делит угол на две равные части, то угол αOP будет равным углу POβ.

Далее рассмотрим угол α, который разделяется биссектрисой на две части: угол αOP и угол EOP.

По аксиоме о вертикальных углах, угол α равен углу β. Из этого следует, что углы αOP и αOβ равны.

В свою очередь, углы αOP и POβ равны по построению.

Из равенства углов αOP и αOβ, а также равенства углов αOP и POβ, следует, что углы αOβ и POβ также равны.

Таким образом, мы получили, что углы, образованные вертикальными сторонами α и β с биссектрисой, равны между собой.

Исходя из определения биссектрисы, мы знаем, что она делит угол на две равные части. Таким образом, биссектриса угла β также будет проходить через точку P.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения вертикальных сторон углов.