Question

Окружность проходит через вершину B ΔABC, касается стороны AC в ее середине D и пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB:BC=3:2. Найдите отношение площади ΔAMD к площади ΔDNC

Answer 1

Окружность проходит через вершину B ΔABC, касается стороны AC в ее середине D и пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB:BC=3:2. Найдите отношение площади ΔAMD к площади ΔDNC

Объяснение:

$\displaystyle \frac{S_A_D_M}{S_C_D_N} =\frac{0,5*AD*AM*sin A}{0,5*CD*CN*sinC}$ . Сократятся множители 0,5 .Сократятся  AD и CD, тк равны по длине .

1) Отношение синусов можно найти по т синусов для ΔАВС

$\displaystyle \frac{BC}{sinA} =\frac{AB}{sinC}$   или  $\displaystyle \frac{sinA}{sinC} } =\frac{BC}{AB} =\frac{2}{3}$ .

2 )По т. о касательной и секущей АD²=AM*AB  и СD²=CN*CB .

Тк АD²=СD²,  то  AM*AB=CN*CB ⇒  $\displaystyle \frac{AM}{CN} =\frac{BC}{AB} =\frac{2}{3}$ .

3 ) $\displaystyle \frac{S_A_D_M}{S_C_D_N} =\frac{2}{3} *\frac{2}{3} =\frac{4}{9}$ .

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства касательных и хорд окружности.

Поскольку окружность проходит через вершину B треугольника ABC и касается стороны AC в ее середине D, то мы знаем, что угол BDC прямой. Также из свойств касательных мы знаем, что уголы между касательной и хордой, проведенной из точки касания до точки пересечения, равны. Таким образом, угол AMD равен углу DNC.

Теперь нам нужно найти отношение площадей треугольников AMD и DNC. Поскольку углы AMD и DNC равны, а стороны AD и DC равны (так как D - середина стороны AC), то треугольники AMD и DNC подобны. Из этого следует, что отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их сторон.

Так как AB:BC=3:2, то отношение сторон AD и DC также равно 3:2. Таким образом, отношение площади треугольника AMD к площади треугольника DNC равно (3/2)^2=9/4.

Итак, отношение площади треугольника AMD к площади треугольника DNC равно 9:4.