Question

Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке О, которая лежит на стороне ВС. Докажите, что угол BAC = угол ABC + угол ACB. СРОЧНО ( ответ дать нормальный )

Answer 1

Ответ:

Пусть серединные перпендикуляры MT и NT к сторонам АВ и AC СООТВЕТСТВенно пересекаются в точке Т, принадлежащей стороне ВС. Проведём отрезок АТ и рассмотрим треугольник АВТ. В этом треугольнике ТМ является одновременно медианой и высотой, поскольку ТМ- серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника. Так как ТМ одновременно является медианой и высотой, треугольник ABT равнобедренный с основанием AB, тогда углы АВТ и ВАТ равны. Аналогично, рассмотрим треугольник АСТ, в нём TN является одновременно медианой и высотой, поскольку TN серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника. Значит, треугольник ACT равнобедренный с основанием АС и углы АСТ и САТ равны. Тогда угол А=ВАС равен ВАТ+ТАС=ABT+АСТ=В+С, что и требовалось доказать.

Answer 2

Дано, что серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(O\), причем эта точка лежит на стороне \(BC\).

Чтобы доказать, что угол \(BAC\) равен сумме углов \(ABC\) и \(ACB\), давайте воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров и треугольников.

1. Обозначим середины сторон \(AB\) и \(AC\) как \(M\) и \(N\) соответственно. Тогда отрезки \(OM\) и \(ON\) являются серединными перпендикулярами к \(AB\) и \(AC\) соответственно.

2. Так как \(OM\) и \(ON\) перпендикулярны соответствующим сторонам, то угол \(MON\) прямой.

3. Рассмотрим треугольник \(BON\). Поскольку угол \(MON\) прямой, угол \(BOC\) также прямой (так как он включает прямой угол \(MON\)).

4. Теперь рассмотрим треугольник \(AOC\). Угол \(AOC\) тоже прямой, так как он включает прямой угол \(BOC\).

5. Таким образом, у нас есть два треугольника \(BON\) и \(AOC\), у которых общий угол \(BOC\) прямой.

6. Из этого следует, что угол \(BON\) равен углу \(AOC\) (по свойству вертикальных углов).

7. Теперь рассмотрим треугольники \(BOM\) и \(AON\). У них соответствующие углы при вершине равны (по построению).

8. Следовательно, угол \(BOM\) равен углу \(AON\), что означает, что угол \(BAC\) равен углу \(ABC\) плюс угол \(ACB\).

Таким образом, мы доказали, что угол \(BAC\) равен сумме углов \(ABC\) и \(ACB\).