Question

окружность заданная уравнением х^2+у^2 =36 , пересекает отрицательную полуось OX в точке P , точка M лежит на окружности еë абсцисса равна 3 . Найдите площадь треугольника OPM

Answer 1

Ответ:

Вот решение данной задачи

Answer 2

У нас дано уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 36\) и точка \(P\) на отрицательной полуоси \(OX\).

Чтобы найти координаты точки \(P\), подставим \(x = 0\) в уравнение окружности:

\[0^2 + y^2 = 36\] \[y^2 = 36\] \[y = \pm 6\]

Так как точка \(P\) лежит на отрицательной полуоси \(OX\), выбираем \(y = -6\). Таким образом, координаты точки \(P\) равны \((0, -6)\).

Теперь, если точка \(M\) лежит на окружности и её абсцисса \(x = 3\), то подставим \(x = 3\) в уравнение окружности:

\[3^2 + y^2 = 36\] \[9 + y^2 = 36\] \[y^2 = 27\] \[y = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}\]

Так как мы ищем точку \(M\) на окружности, где \(x = 3\), то берем \(y = -3\sqrt{3}\). Таким образом, координаты точки \(M\) равны \((3, -3\sqrt{3})\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника \(OPM\), используя формулу для площади треугольника, образованного тремя точками в декартовой системе координат.

Площадь треугольника можно выразить через полупроизведение векторных произведений двух векторов, образованных из векторов \(\overrightarrow{OP}\) и \(\overrightarrow{OM}\):

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM}|\]

Где векторное произведение \(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM}\) можно выразить как:

\(\overrightarrow{OP} = (x_P - x_O, y_P - y_O) = (0 - 0, -6 - 0) = (0, -6)\)

\(\overrightarrow{OM} = (x_M - x_O, y_M - y_O) = (3 - 0, -3\sqrt{3} - 0) = (3, -3\sqrt{3})\)

Теперь вычислим векторное произведение:

\(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM} = (0, -6) \times (3, -3\sqrt{3})\)

Векторное произведение для двумерных векторов можно выразить как:

\(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM} = x_1y_2 - x_2y_1\)

\(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM} = (0 \cdot (-3\sqrt{3})) - (3 \cdot (-6)) = 18\)

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

\(|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OM}| = |18| = 18\)

Итак, площадь треугольника \(OPM\) равна:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\]