Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 100 БАЛЛОВ!! Кут між діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 30°. Діагональ паралелепіпеда утворює із площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 18 см2

Answer 1

Высота параллелепипеда h.

Объем прямоугольного параллелепипеда

V =Sосн h =18

В основании прямоугольник. Диагональ основания d.

Площадь прямоугольника

Sосн =1/2 d^2 sin30 =1/4 d^2

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно основанию (= высота).

Диагональ основания - проекция диагонали параллелепипеда.

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

Диагональ параллелепипеда образует с диагональю основания угол 60.

h/d =tg60 =√3

h^2 =3d^2 =12S =18*12/h => h^3=18*12 => h=6 (см)

Answer 2

Давайте розглянемо задачу крок за кроком.

Нехай \( ABCDA'B'C'D' \) - прямокутний паралелепіпед, де \( ABCD \) - основа, \( A'B'C'D' \) - протилежна основа. Задано, що кут між діагоналями основи \( ABCD \) дорівнює \( 30^\circ \), і діагональ паралелепіпеда утворює кут \( 60^\circ \) з площиною основи.

Діагоналі основи \( AC \) і \( BD \) є протилежними ребрами прямокутного паралелепіпеда. Таким чином, можна визначити кут між діагоналями як \( \angle ACB = 30^\circ \). Також відомо, що діагональ \( A'C' \) (яка є проекцією діагоналі паралелепіпеда на площину основи) утворює кут \( 60^\circ \) з площиною основи.

Ми можемо розглядати трикутник \( ABC \). Кут \( \angle ACB \) дорівнює \( 30^\circ \), а кут \( \angle CAB \) (перпендикулярний до площини основи) дорівнює \( 90^\circ \). Таким чином, кут \( \angle ABC \) дорівнює \( 180^\circ - \angle ACB - \angle CAB = 60^\circ \).

Тепер ми маємо, що кут між діагоналями основи \( ABCD \) і кут між діагоналлю паралелепіпеда та площиною основи також дорівнюють \( 60^\circ \).

Тепер використаємо властивості косинусів для трикутника \( ABC \):

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \]

Знаючи, що \( \angle ABC = 60^\circ \), ми можемо записати:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{AC}{AB} \implies \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \implies AC = \frac{AB}{2} \]

Тепер ми можемо використовувати властивості трикутників для паралелепіпеда. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. За теоремою Піфагора маємо:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies AB^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + BC^2 \implies BC^2 = \frac{3}{4}AB^2 \]

Також маємо вираз для об'єму:

\[ V = S_{\text{основи}} \cdot h = AB \cdot BC \cdot h \]

Тепер підставимо вираз для \( BC \) з умови Піфагора:

\[ V = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \]

Дано, що об'єм \( V = 18 \, \text{см}^3 \). Тепер можна вирішити рівняння відносно \( h \):

\[ 18 = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \]

При додатковому введенні відомого розміру основи \( AB \), можна знайти значення висоти \( h \).