Question

Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 55°, а його гіпотенуза дорівнює 18 см. Навколо трикутника описане коло. Знайдіть градусну міру дуги, яку стягує менший катет трикутника.

Answer 1

Ответ:70°

Объяснение:оскільки кутВ=90-55=35°,тобто,він менший за кут А,то менший катет-катет АС,який стягує дугу АС.

Answer 2

Для вирішення цього завдання використаємо тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках. Для даного трикутника з гострим кутом 55° та гіпотенузою 18 см, ми можемо знайти довжину катетів за допомогою тригонометричних функцій.

Давайте позначимо катети як \( a \) та \( b \), а гіпотенузу як \( c \).

За теоремою Піфагора в прямокутних трикутниках:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Також, використовуючи визначення тангенса:

\[ \tan(\theta) = \frac{a}{b} \]

Для гострого кута 55° визначимо тангенс:

\[ \tan(55°) = \frac{a}{b} \]

Тепер розв'яжемо ці дві рівняння для знаходження \( a \) та \( b \):

1. Визначимо катет \( a \) за допомогою тангенса:

\[ \tan(55°) = \frac{a}{b} \]

\[ a = b \cdot \tan(55°) \]

2. Підставимо в теорему Піфагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ 18^2 = (b \cdot \tan(55°))^2 + b^2 \]

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для \( b \), а потім використовувати його для знаходження кута, який стягує менший катет.

Нехай:

\[ x = b \]

\[ 18^2 = (x \cdot \tan(55°))^2 + x^2 \]

Розв'яжемо це рівняння:

\[ 18^2 = x^2 \cdot \tan^2(55°) + x^2 \]

\[ 18^2 = x^2 (\tan^2(55°) + 1) \]

\[ x^2 = \frac{18^2}{\tan^2(55°) + 1} \]

\[ x = \sqrt{\frac{18^2}{\tan^2(55°) + 1}} \]

Тепер, коли ми знаємо \( x \), можемо знайти кут, який стягує менший катет:

\[ \text{градусна міра дуги} = \arctan\left(\frac{a}{x}\right) \]

\[ \text{градусна міра дуги} = \arctan\left(\frac{b \cdot \tan(55°)}{\sqrt{\frac{18^2}{\tan^2(55°) + 1}}}\right) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx \arctan\left(\frac{\tan(55°)}{\sqrt{\frac{1}{\tan^2(55°) + 1}}}\right) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx \arctan(\tan(55°) \cdot \sqrt{\tan^2(55°) + 1}) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx \arctan(\tan(55°) \cdot \sqrt{\cot^2(55°) + 1}) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx \arctan(\tan(55°) \cdot \csc(55°)) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx \arctan(\sin(55°)) \]

\[ \text{градусна міра дуги} \approx 55° \]

Отже, градусна міра дуги, яку стягує менший катет трикутника, дорівнює приблизно 55°.