Question

Помогите, даю 60 баллов!! В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка D, а настороне ВС точки Е и F так, что AD:DB=3:2, BE:EC=1:3 и BF:FC=4:1. Вкаком отношении прямая AE делит отрезок DF ?​

Answer 1

Отрезок BC разделен на 4 и на 5 долей. НОК=20.

BE:EC =1:3 =5:15

BF:FC =4:1 =16:4

=> BE:EF:FC =5:11:4

т Менелая

BE/EF *FT/TD *DA/AB =1

=> 5/11 *FT/TD *3/5 =1 => TD/FT =3/11

Answer 2

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

Пусть AD = 3x, DB = 2x, BE = y, EC = 3y, BF = 4z, FC = z.

Теперь давайте рассмотрим прямую AE. Поскольку AD:DB = 3:2, мы можем записать, что AE делит отрезок AB в отношении 3:2. Таким образом, AE = (3/5) * AB.

Аналогично, по условию BE:EC = 1:3, прямая BE делит отрезок BC в отношении 1:3. Это означает, что BE = (1/4) * BC.

Теперь у нас есть отношения длин сторон треугольника ABC в терминах переменных x и y.

Также у нас есть BF:FC = 4:1. Значит, BF = (4/5) * BC и FC = (1/5) * BC.

Теперь давайте рассмотрим отрезок DF. Мы видим, что DF = DB + BF. Подставляя значения, получаем DF = 2x + (4/5) * BC.

Таким образом, прямая AE делит отрезок DF в отношении AE:EF = AE:DF. Подставляя значения, получаем:

\[ \frac{AE}{DF} = \frac{(3/5) \cdot AB}{2x + (4/5) \cdot BC} \]

Теперь мы знаем, что AB = AD + DB, а также BC = BE + EF + FC. Подставим это:

\[ \frac{AE}{DF} = \frac{(3/5) \cdot (AD + DB)}{2x + (4/5) \cdot (BE + EF + FC)} \]

Теперь подставим значения AD, DB, BE, и FC:

\[ \frac{AE}{DF} = \frac{(3/5) \cdot (3x + 2x)}{2x + (4/5) \cdot (y + EF + z)} \]

\[ \frac{AE}{DF} = \frac{(3/5) \cdot 5x}{2x + (4/5) \cdot (y + EF + z)} \]

\[ \frac{AE}{DF} = \frac{3x}{2x + (4/5) \cdot (y + EF + z)} \]

Таким образом, прямая AE делит отрезок DF в отношении \( \frac{3x}{2x + (4/5) \cdot (y + EF + z)} \).