Question

Вне треугольника ABC (AB=√505,BC=10,CA=27 ) взяты такие точки E и D, что ∠ABE=∠CBD=45∘ и AE=AB, CD=CB. Отрезки CE и AD пересекаются в точке P, прямая BP пересекает AC в точке K. Найдите KC.​

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Заметим, что BK лежит на общей хорде двух окружностей, построенных с центрами в точках А и С и радиусами АС  и ВС. Значит, ВК - высота. А дальше остается все посчитать. Пусть ВК = h, AK = x.

x^2 + h^2 = 505

h^2 + (27 - x)^2 = 100

405 = (x - 27 + x)*(x + 27 - x)

x = 21.

KC = 27 - x = 27 - 21 = 6

Answer 2

Сначала найдем длину отрезка AB: AB = √505. Так как ∠ABE = ∠CBD = 45∘, то треугольники ABE и CBD подобны. Поэтому отношение сторон в треугольниках ABE и CBD равно отношению AB и BC: AE/CD = AB/BC Так как AE = AB и CD = CB, то AE/CD = AB/CB = √505/10 = √505/√100 = √5. Таким образом, AE/CD = √5. По условию задачи, прямые AD и CE пересекаются в точке P. Так как CE параллельно AD (так как ∠ABE + ∠ABD = ∠ABE + ∠CBD = 45∘ + 45∘ = 90∘), то треугольники AEP и CDP подобны. Поэтому отношение сторон в треугольниках AEP и CDP равно отношению AE и CD: AP/CP = AE/CD = √5. Так как AP + CP = AC, то AP = AC - CP. Подставив это значение в предыдущее равенство, получим: AC - CP/CP = √5. Перенеся дробь влево, получим: AC/CP - 1 = √5. Добавив 1 к обеим сторонам, получим: AC/CP = 1 + √5. Заметим, что треугольники ACP и BCK подобны (так как ∠APC = ∠BPС = 90∘ и ∠ACР = ∠BCР = 45∘). Поэтому отношение сторон в треугольниках ACP и BCK равно отношению AC и BC: KC/CP = AC/BC. Так как AC/CP = 1 + √5, то KC/CP = (1 + √5)/10. Перенеся CP влево, получим: KC = (1 + √5)/10 * CP. Таким образом, значение KC зависит от значения CP, которое не дано в условии задачи, поэтому конкретное значение KC найти невозможно без дополнительной информации.